Un paio di quesiti
avrei dei problemi con i seguenti esercizi, potreste cortesemente aiutarmi e magari svolgerli spiegandomi cosa avete fatto per giungere alla soluzione?
Esercizio 1: Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine finito $n$ e generato da $\alpha$; sia $H_d$ il sottogruppo di $G$ di ordine $d$.
a) verificare che esiste un sottogruppo $K$ di $G$ tale che $H_d$ $~=$ $G/K$
b) dimostrare che $G$ $~=$ $H_d$ $x$ $K$ se e solo se $(d,n/d)=1$
Esercizio 2: sia $G$ un gruppo abeliano e sia $p$ un numero primo. Definiamo
$P$ $=$ {$a$ $in$ $G$ : o(a) e' una potenza di p}
a. Verificare che $P$ è sottogruppo di $G$
b. Verificare che in $G/P$ non ci sono elementi di ordine $p$
Esercizio 3: sia $G$=Hom($ZZ$$/$$4$$ZZ$,$ZZ$$/$$16$$ZZ$) il gruppo degli omomorfismi $\varphi$ : $ZZ$$/$$32$$ZZ$ $->$ $ZZ$$/$$16$$ZZ$ con l'operazione ($\varphi$ +$\psi$) ($[a]_32$)=$\varphi$($[a]_32$)+$\psi$($[a]_32$) e sia $H$={$\varphi$ $in$ $G$ t.c.
$\varphi$($[4]_32$)=$[0]_16$}.
a) verificare che $H$ è sottogruppo normale di $G$
b) dimostrare che $G$$/$$H$$~=$$ZZ$$/$$4$$ZZ$
Esercizio 1: Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine finito $n$ e generato da $\alpha$; sia $H_d$ il sottogruppo di $G$ di ordine $d$.
a) verificare che esiste un sottogruppo $K$ di $G$ tale che $H_d$ $~=$ $G/K$
b) dimostrare che $G$ $~=$ $H_d$ $x$ $K$ se e solo se $(d,n/d)=1$
Esercizio 2: sia $G$ un gruppo abeliano e sia $p$ un numero primo. Definiamo
$P$ $=$ {$a$ $in$ $G$ : o(a) e' una potenza di p}
a. Verificare che $P$ è sottogruppo di $G$
b. Verificare che in $G/P$ non ci sono elementi di ordine $p$
Esercizio 3: sia $G$=Hom($ZZ$$/$$4$$ZZ$,$ZZ$$/$$16$$ZZ$) il gruppo degli omomorfismi $\varphi$ : $ZZ$$/$$32$$ZZ$ $->$ $ZZ$$/$$16$$ZZ$ con l'operazione ($\varphi$ +$\psi$) ($[a]_32$)=$\varphi$($[a]_32$)+$\psi$($[a]_32$) e sia $H$={$\varphi$ $in$ $G$ t.c.
$\varphi$($[4]_32$)=$[0]_16$}.
a) verificare che $H$ è sottogruppo normale di $G$
b) dimostrare che $G$$/$$H$$~=$$ZZ$$/$$4$$ZZ$
Risposte
Vediamo di risolvere questi esercizi.
Per il primo:
Il gruppo è ciclico di ordine n, quindi è isomorfo a $ZZ//nZZ$. Il sottogruppo $H_d$, essendo sottogruppo di un ciclico, sarà a sua volta ciclico, in particolare isomorfo a $Z//dZ$.
Ora, per uno dei mille teoremi di omomorfismo, sappiamo che $(G//H) //(T//H) $ è isomorfo a $G//T$ (con $H subset T$ sottogruppi normali di $G$). Nel nostro caso, $G=ZZ$, $H=nZZ$ e $T=dZ$, ottenendo così che $ZZ//dZZ~=(ZZ//nZZ)//(dZ//nZZ)$, per cui il sottogruppo $K$ cercato è $dZZ//nZZ$, altrimenti detto $ZZ//n/dZZ$.
Il secondo:
il punto a è banale, devi solo tener conto, per dimostrare la chiusura, che in un gruppo abeliano $ord(ab)$ divide $m.c.m(ord(a),ord(b))$, dove con m.c.m. ho indicato il minimo comune multiplo.
Per il secondo punto:
Sia $g+P$ un generico elemento di $G//P$. $(g+P)^p=P=e_(G//P) <=> g^p+P=P <=> g^p in P <=> ord(g^p)=p^k$, con $k$ intero. Ma allora $g^p^(k+1)=e$, da cui $ord(g)|p^(k+1)$, e dunque è a sua volta un multiplo di $p$, per cui
$g in P$, e dunque $g+P=P$, per cui solo $P$, in $G//P$, ha ordine che divide $p$, ma essendo l'identità del quoziente il suo ordine è $1$, e non $p$, per cui non c'è nessun elemento di ordine $p$.
p.s. mi ricordo che questo esercizio lo incontrai l'anno scorso quando preparavo aritmetica: mica studi a Pisa?
Il terzo:
ti do solo qualche indizio, poi provaci da sola. Intanto credo tu intendessi $G=Hom(ZZ//32ZZ,ZZ//16ZZ)$. il punto a) è facile, anche per la normalità basta che usi la definizione e l'operazione di gruppo definita dal testo.
Per il punto b), ti consiglio di dimostrare che $H$ ha $4$ elementi. Siccome $G$ ne ha $16$ (perchè?), allora $G//H$ ne avrà 4, e sarà quindi isomorfo a $ZZ//4ZZ$ , se è ciclico, o a $ZZ//2ZZ X ZZ//2ZZ$ se non lo è. Per concludere, basta quindi che trovi un elemento di
ordine 4 in $G//H$....
Scrivi qui la soluzione completa del terzo, se ci sono problemi ti si aiuta.
ciao
Per il primo:
Il gruppo è ciclico di ordine n, quindi è isomorfo a $ZZ//nZZ$. Il sottogruppo $H_d$, essendo sottogruppo di un ciclico, sarà a sua volta ciclico, in particolare isomorfo a $Z//dZ$.
Ora, per uno dei mille teoremi di omomorfismo, sappiamo che $(G//H) //(T//H) $ è isomorfo a $G//T$ (con $H subset T$ sottogruppi normali di $G$). Nel nostro caso, $G=ZZ$, $H=nZZ$ e $T=dZ$, ottenendo così che $ZZ//dZZ~=(ZZ//nZZ)//(dZ//nZZ)$, per cui il sottogruppo $K$ cercato è $dZZ//nZZ$, altrimenti detto $ZZ//n/dZZ$.
Il secondo:
il punto a è banale, devi solo tener conto, per dimostrare la chiusura, che in un gruppo abeliano $ord(ab)$ divide $m.c.m(ord(a),ord(b))$, dove con m.c.m. ho indicato il minimo comune multiplo.
Per il secondo punto:
Sia $g+P$ un generico elemento di $G//P$. $(g+P)^p=P=e_(G//P) <=> g^p+P=P <=> g^p in P <=> ord(g^p)=p^k$, con $k$ intero. Ma allora $g^p^(k+1)=e$, da cui $ord(g)|p^(k+1)$, e dunque è a sua volta un multiplo di $p$, per cui
$g in P$, e dunque $g+P=P$, per cui solo $P$, in $G//P$, ha ordine che divide $p$, ma essendo l'identità del quoziente il suo ordine è $1$, e non $p$, per cui non c'è nessun elemento di ordine $p$.
p.s. mi ricordo che questo esercizio lo incontrai l'anno scorso quando preparavo aritmetica: mica studi a Pisa?
Il terzo:
ti do solo qualche indizio, poi provaci da sola. Intanto credo tu intendessi $G=Hom(ZZ//32ZZ,ZZ//16ZZ)$. il punto a) è facile, anche per la normalità basta che usi la definizione e l'operazione di gruppo definita dal testo.
Per il punto b), ti consiglio di dimostrare che $H$ ha $4$ elementi. Siccome $G$ ne ha $16$ (perchè?), allora $G//H$ ne avrà 4, e sarà quindi isomorfo a $ZZ//4ZZ$ , se è ciclico, o a $ZZ//2ZZ X ZZ//2ZZ$ se non lo è. Per concludere, basta quindi che trovi un elemento di
ordine 4 in $G//H$....
Scrivi qui la soluzione completa del terzo, se ci sono problemi ti si aiuta.
ciao
ok l'ho appena letto ora mi applico e ti faccio sapere grazie 1000!!!!
:-*
:-*
una curiosità... io nel secondo esercizio per verificare che P è sottogruppo di G verifico 3 cose:
1)l'elemento neutro appartiene a P
2)presi due elementi apparteneti a P il loro prodotto appartiene ancora a P
3)apparteneza dell'inverso di un elemento di P
mi chiedevo se le verifiche fossero equivalenti...aspetto tue notizie grazie anticipatamente
1)l'elemento neutro appartiene a P
2)presi due elementi apparteneti a P il loro prodotto appartiene ancora a P
3)apparteneza dell'inverso di un elemento di P
mi chiedevo se le verifiche fossero equivalenti...aspetto tue notizie grazie anticipatamente
si, devi verificare quelle 3 cose, ma la prima (il neutro) e l'ultima (l'inverso) sono banali, per questo non te le ho scritte. Quella un pò meno facile è la chiusura, ovvero che dati 2 elementi nel sottogruppo
anche il loro prodotto ci sta, e per verificare questo devi usare quella cosa sull'mcm che ti ho detto sopra.
Comunque devi sempre verificare tutte e 3 le cose, non sono equivalenti fra loro.
In realtà, il fatto che $e$, il neutro, stia nel sottogruppo, discende dalle altre 2 proprietà (inverso e chiusura). Infatti se $a inH$, dato che H è chiuso per l'inverso $a^(-1)inH$, e per la chiusura $aa^(-1)=einH$. Però un sottogruppo è un sottoinsieme NON VUOTO (importante!), quindi quanto detto finora per ottenere $e$ va bene se dimostri che in $H$
c'è almeno un elemento, cioè che non sia vuoto. E spesso la cosa più facile è dimostrare che $einH$, quindi tanto vale introdurre
$einH$ come condizione a parte per essere un sottogruppo. Spero di essere stato chiaro...
anche il loro prodotto ci sta, e per verificare questo devi usare quella cosa sull'mcm che ti ho detto sopra.
Comunque devi sempre verificare tutte e 3 le cose, non sono equivalenti fra loro.
In realtà, il fatto che $e$, il neutro, stia nel sottogruppo, discende dalle altre 2 proprietà (inverso e chiusura). Infatti se $a inH$, dato che H è chiuso per l'inverso $a^(-1)inH$, e per la chiusura $aa^(-1)=einH$. Però un sottogruppo è un sottoinsieme NON VUOTO (importante!), quindi quanto detto finora per ottenere $e$ va bene se dimostri che in $H$
c'è almeno un elemento, cioè che non sia vuoto. E spesso la cosa più facile è dimostrare che $einH$, quindi tanto vale introdurre
$einH$ come condizione a parte per essere un sottogruppo. Spero di essere stato chiaro...
si si chiarissimo infatti negli appunti mi trovo scritto che verificare che l'insieme non è vuoto perchè contiene l'elemento neutro solitamente è facile
ah non avevo letto la tua domanda scusa...no non studio a pisa ma il mio prof è di pisa magari lo conosci si chiama Andrea Bandini...cmq studio a cosenza
Comunque il terzo esercizio non è risolto, ti ho solo dato degli spunti, invitandoti a scrivere la soluzione completa da te, per vedere se hai effettivametne capito come risolvere quel tipo di esercizio...
si si lo so il problema è che ieri non ho fatto nulla ihihihihihih 
"lellina89":
si si lo so il problema è che ieri non ho fatto nulla ihihihihihih
eh beh mi pare giusto!
allora del terzo sono riuscita a fare solo il primo punto...
Per verificare che $H$ sia sotto gruppo normale di $G$ ho considerato un elemeto $g$ $in$ $G$ e $\varphi$ $in$ $H$ che posti nella forma $g\varphig^-1$ formano il gruppo $gHg^-1$ cioè $gHg^-1={ g\varphig^-1}$ ,ora dobbiamo verificare che questo gruppo sia contenuto in $H$.Tenedo conto che l'operazione definita è la somma avremo:
$(g+\varphi+g^-1)([4]_32)=g([4]_32)+\varphi([4]_32)+g^-1([4]_32)=g([4]_32)+[0]_16+g^-1([4]_32)$
poichè l'immagine di $g$ e $g^-1$ è definita in $ZZ/16ZZ$ [0]_16 è l'elemeto neutro rispetto alla somma e qualsiasi siano le immagini di $g$ $g^-1$ si elidono e ciò che rimane è proprio [0]_16 quindi $gHg^-1$ è contenuto in $H$
spero sia giusto...ora però ho problemi sulla seconda parte potresti aiutarmi gentilmente
Per verificare che $H$ sia sotto gruppo normale di $G$ ho considerato un elemeto $g$ $in$ $G$ e $\varphi$ $in$ $H$ che posti nella forma $g\varphig^-1$ formano il gruppo $gHg^-1$ cioè $gHg^-1={ g\varphig^-1}$ ,ora dobbiamo verificare che questo gruppo sia contenuto in $H$.Tenedo conto che l'operazione definita è la somma avremo:
$(g+\varphi+g^-1)([4]_32)=g([4]_32)+\varphi([4]_32)+g^-1([4]_32)=g([4]_32)+[0]_16+g^-1([4]_32)$
poichè l'immagine di $g$ e $g^-1$ è definita in $ZZ/16ZZ$ [0]_16 è l'elemeto neutro rispetto alla somma e qualsiasi siano le immagini di $g$ $g^-1$ si elidono e ciò che rimane è proprio [0]_16 quindi $gHg^-1$ è contenuto in $H$
spero sia giusto...ora però ho problemi sulla seconda parte potresti aiutarmi gentilmente
allora del terzo sono riuscita a fare solo il primo punto...
Per verificare che $H$ sia sottogruppo normale di $G$ ho considerato un elemeto $g$ $in$ $G$ e $\varphi$ $in$ $H$ che posti nella forma $g\varphig^-1$ formano il gruppo $gHg^-1$ cioè $gHg^-1={ g\varphig^-1}$ ,ora dobbiamo verificare che questo gruppo sia contenuto in $H$.Tenedo conto che l'operazione definita è la somma avremo:
$(g+\varphi+g^-1)([4]_32)=g([4]_32)+\varphi([4]_32)+g^-1([4]_32)=g([4]_32)+[0]_16+g^-1([4]_32)$
poichè l'immagine di $g$ e $g^-1$ è definita in $ZZ//16ZZ$ e che $[0]_16$ è l'elemeto neutro rispetto alla somma in $ZZ//16ZZ$ qualsiasi siano le immagini di $g$ $g^-1$ ciò che rimane è proprio $[0]_16$ quindi $gHg^-1$ è contenuto in $H$
spero sia giusto...ora però ho problemi sulla seconda parte potresti aiutarmi gentilmente
PS ho mandato per sbaglio il messaggio di prima era solo una bozza](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Per verificare che $H$ sia sottogruppo normale di $G$ ho considerato un elemeto $g$ $in$ $G$ e $\varphi$ $in$ $H$ che posti nella forma $g\varphig^-1$ formano il gruppo $gHg^-1$ cioè $gHg^-1={ g\varphig^-1}$ ,ora dobbiamo verificare che questo gruppo sia contenuto in $H$.Tenedo conto che l'operazione definita è la somma avremo:
$(g+\varphi+g^-1)([4]_32)=g([4]_32)+\varphi([4]_32)+g^-1([4]_32)=g([4]_32)+[0]_16+g^-1([4]_32)$
poichè l'immagine di $g$ e $g^-1$ è definita in $ZZ//16ZZ$ e che $[0]_16$ è l'elemeto neutro rispetto alla somma in $ZZ//16ZZ$ qualsiasi siano le immagini di $g$ $g^-1$ ciò che rimane è proprio $[0]_16$ quindi $gHg^-1$ è contenuto in $H$
spero sia giusto...ora però ho problemi sulla seconda parte potresti aiutarmi gentilmente
PS ho mandato per sbaglio il messaggio di prima era solo una bozza
E' scritto malino, ma credo che sostanzialmente tu abbia capito. Vediamo:
ok, devono essere generici
Qui hai fatto casino: $gHg^-1={ g\varphig^-1| \varphi in H}$, ossia $\varphi$ varia in $H$. Come avevi scritto te , $gHg^(-1)$ era composto
da un solo elemento, $g\varphig^-1$
Esatto, ribadendo che il gruppo giusto è $gHg^-1={ g\varphig^-1| \varphi in H}$, e che questo deve essere contenuto in $H$
al variare anche di $g$. La definizione di sottogruppo normale è $AAginG, AAhinH$, deve essere $ghg^(-1)inH$
ok
SI, hai dimostrato che $g\varphig^(-1)inH$ per ogni $ginG$ e $AA \varphi in H$, quindi hai finito.
Nota che tutte queste preicisazioni e riscritture che ti ho fatto non le ho fatte perchè mi diverto, ma perchè è quello che
devi scrivere te per una soluzione corretta. Come avevi scritto all'inizio te la soluzione era perlomeno incompleta.
Per la seconda parte ti rimando a quanto ti ho già detto, che evidentemente ti era sfuggito.
"lellina89":
Per verificare che $H$ sia sottogruppo normale di $G$ ho considerato un elemeto $g$ $in$ $G$ e $\varphi$ $in$ $H$
ok, devono essere generici
"lellina89":
che posti nella forma $g\varphig^-1$ formano il gruppo $gHg^-1$ cioè $gHg^-1={ g\varphig^-1}$ ,
Qui hai fatto casino: $gHg^-1={ g\varphig^-1| \varphi in H}$, ossia $\varphi$ varia in $H$. Come avevi scritto te , $gHg^(-1)$ era composto
da un solo elemento, $g\varphig^-1$
"lellina89":
ora dobbiamo verificare che questo gruppo sia contenuto in $H$.
Esatto, ribadendo che il gruppo giusto è $gHg^-1={ g\varphig^-1| \varphi in H}$, e che questo deve essere contenuto in $H$
al variare anche di $g$. La definizione di sottogruppo normale è $AAginG, AAhinH$, deve essere $ghg^(-1)inH$
"lellina89":
Tenendo conto che l'operazione definita è la somma avremo:
$(g+\varphi+g^-1)([4]_32)=g([4]_32)+\varphi([4]_32)+g^-1([4]_32)=g([4]_32)+[0]_16+g^-1([4]_32)$
poichè l'immagine di $g$ e $g^-1$ è definita in $ZZ//16ZZ$ e che $[0]_16$ è l'elemeto neutro rispetto alla somma in $ZZ//16ZZ$ qualsiasi siano le immagini di $g$ $g^-1$ ciò che rimane è proprio $[0]_16$
ok
"lellina89":
quindi $gHg^-1$ è contenuto in $H$
SI, hai dimostrato che $g\varphig^(-1)inH$ per ogni $ginG$ e $AA \varphi in H$, quindi hai finito.
Nota che tutte queste preicisazioni e riscritture che ti ho fatto non le ho fatte perchè mi diverto, ma perchè è quello che
devi scrivere te per una soluzione corretta. Come avevi scritto all'inizio te la soluzione era perlomeno incompleta.
Per la seconda parte ti rimando a quanto ti ho già detto, che evidentemente ti era sfuggito.
"alvinlee88":
Il terzo:
ti do solo qualche indizio, poi provaci da sola. Intanto credo tu intendessi $G=Hom(ZZ//32ZZ,ZZ//16ZZ)$. il punto a) è facile, anche per la normalità basta che usi la definizione e l'operazione di gruppo definita dal testo.
Per il punto b), ti consiglio di dimostrare che $H$ ha $4$ elementi. Siccome $G$ ne ha $16$ (perchè?), allora $G//H$ ne avrà 4, e sarà quindi isomorfo a $ZZ//4ZZ$ , se è ciclico, o a $ZZ//2ZZ X ZZ//2ZZ$ se non lo è. Per concludere, basta quindi che trovi un elemento di
ordine 4 in $G//H$....
Scrivi qui la soluzione completa del terzo, se ci sono problemi ti si aiuta.
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