Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciao ragazzi, sono disperata.. non riesco proprio a capire come si facciano gli esercizi sulle strutture cicliche delle permutazioni in Sn! ad esempio.. un esercizio mi chiede: "Quali sono le strutture cicliche delle permutazioni di S14 con periodo 20?" oppure: "Si determini la cardinilità di ogni classe coniugata di S5.." Grazie mille a chi mi illuminerà!

Ciao a tutti, volevo chiedere a voi del forum se sono corretti i passaggi per trovare tutte le soluzioni del seguente sistema di congruenze: $\{(x-=36(mod 99)),(x-=-36(mod 171)):}$ Infine, come posso trovare una soluzione che sia divisibile per $50$ ? Grazie. Giampaolo 1) Ho verificato con il Teorema Cinese del Resto che $-36 -36 = -72 $ sia divisibile per $gcd(99,171) = 9$ 2) Mediante l'Algoritmo di Euclide, ho esplicitato $9$ come combinazione lineare di ...

Ho consultato Algebra di Micheal Artin per un po' di materiale introduttivo sui moduli. Ho trovato tutto ciò che mi serviva ma mi sono rimaste due curiosità: 1) Perché un $R$-modulo isomorfo a $R^n$ si chiama libero? Libero da cosa? 2) Leggo che se $R$ non è commutativo la (già deboluccia IMHO ) analogia con gli spazi vettoriali va a farsi benedire definitivamente; il libro dice che esistono esempi di $R$-moduli isomorfi ad ...

Prima richiesta di aiuto, spero di comportarmi bene nel scrivere le formule... Il mio problema è il seguente: si provi per induzione su n che $n^3 - n + 6$ è multiplo di 3 La base induttiva è ovvia, ma non riesco a dimostrarlo per n...

Hola... posto un esercizio dell'esonero di stamattina 7) Dimostrare che $(2, x)$ non è principale in $ZZ[x]$. Io l'ho svolto così, volevo sapere un metodo più "diretto" che sicuramente c'era: Dal terzo teorema di omomorfismo, $(ZZ[x])/((2,x)) ~= ((ZZ[x])/(2ZZ[x]))/(((2, x))/(2ZZ[x])) = (ZZ_2[x])/(\bar x)$ che è un campo, quindi $(ZZ[x])/((2,x))$ è un campo; segue che $(2,x)$ è massimale e quindi non è principale. E un'altra cosa ancora... per dimostrare questo lemma (ogni ideale principale $(f(x))$ di ...

Scusate, vorrei chiedere solamente una conferma. Non mi sento sicuro sul seguente esercizio: " Si provi che ${ zinCC : (1+2i)\bar z^(19) = z^(19) } = ( 0 ) $ Io ho imposto $ z^(19) = (a+bi)$ è ho risolto l'eqiazione $(1+2i)(a-bi)=(a+bi)$ Semplificando arrivo a $a+2b+(2a-b)i=a+bi$ e impostando il sistema $\{(a+2b=a),(2a-b=b):}$ si arriva a trovare a=0 e b=0 così che $z^19=0+0b$ e z=0 Scusate se la domanda può essere sciocca.....ma in questo modo può andare bene? Grazie mille

Salve, scusate se apro un'altra discussione sui reticoli, ma quelle già presenti non chiariscono totalmente i miei dubbi e non sapevo come "collegarmici" ad una pre-esistente. Ho un pò di confusione sui reticoli. Sul libro dice che un reticolo è un insieme parzialmente ordinato dove $AA a,b$ appartenenti al reticolo possiamo trovare un elemento minimo ed un elemento massimo. Dunque possiamo dedurre che esistono reticoli che derivano da insieme parzialmente ordinati e reticoli ...

Leggendo le Note di Algebra di Martino mi è sovvenuto un simpatico lemma nel quale però sono convinto si trovi un errore, mi aiutate a trovarlo? Ambiente: Sia [tex]\mathbb Z \times G[/tex] il prodotto diretto tra il gruppo degli interi con la somma ed un gruppo finito [tex]G[/tex]. Osservazioni: 1) Tutti i sottogruppi normali di [tex]\mathbb Z \times G[/tex] sono del tipo [tex]n \mathbb Z \times N[/tex] , dove [tex]N \unlhd G[/tex]; 2) [tex]\mathbb Z \times \{e_G\} \unlhd \mathbb Z ...

mi è sorto un dubbio... come mai 7 non può essere considerato generatore di (Z/11Z)* ?

sia G un gruppo abeliano finito di ordine n e sia f:G->G l'omomorfismo definito da $f(a)=a^(-1)$ per ogni a appartenente a G. Sia G2={$g^2$ : g appartiene a G}. Sia H={g appartenente a G : f(g)=g}. Dimostrare che G/H è isomorfo a G2.

ho trovato questo esercizio... " sia G un gruppo e sia a appartenente a G. sia $fa:G->G$ definita da $fa(g)=a*g*a^-1$ , per ogni g appartenente a G. dimostrare che $o(fa)|o(a)$." non so proprio da dove partire...qualcuno per favore mi da una mano???

Salve a tutti, sto ripassando le relazion di equivalenza, tra cui le relazioni "modulo R" e le relazioni sulle partizioni (insomma trova la classi di equivalenza e l'insieme quoziente). Il punto è che avrei bisogno di esercizi da fare ma non ne riesco a trovare che facciano al caso mio. Avete qualche suggerimento? Sarebbe però utile che ci fossero le soluzioni, per essere sicuro del risultato. Vi ringrazio in anticipo, Neptune.

Oggi un mio compagno di facoltà m'ha proposto questo esercizio, non è difficile ma bellino. Dimostrare che se $a_1,...,a_n$ sono interi a due a due distinti e $n>=2$ un numero naturale, allora il polinomio $(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n) -1 \in\mathbb Z[x]$ è irriducibile in $\mathbb Z[x]$. Sulla linea di questo, ho pensato di sostituire $-1$ con $1$ e credo di essere giunto al seguente risultato: Fatto: Sia $n$ un numero naturale e $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)+1 \in\mathbb Z[x]$. Allora ...

Dimostrare che $Q(sqrt7+i)=Q(sqrt7,i)$. Allora,io ho pensato che $sqrt7+i$ si può scrivere come combinazione lineare di $sqrt7$ e $i$,dunque $Q(sqrt7+i)$ è contenuto in $Q(sqrt7,i)$. Inoltre hanno lo stesso grado di estensione (quattro) poichè ho trovato i loro polinomi minimi. Questo basta a dimostrare l'uguaglianza? O devo dimostrare che $sqrt7$ e $i$ si scrivono separatamente come combinazione lineare di elementi a coefficienti in ...

Salve a tutti! Prima di scrivere ho provato ad effettuare una ricerca nel forum ma non ho trovato nulla che mi tornasse utile... La mia domanda riguarda l' identità di Bezòut sui polinomi. Per quanto riguarda gli interi, ho ben compreso l'algoritmo euclideo (delle divisioni successive) e tutti i passaggi iterativi per arrivare all'identità di Bezòut. Mentre per i polinomi ho qualche dubbio... Vi posto un esempio : $ MCD (x^2+2x+2, x^3+2x-1) " in " ZZ_3 $ $ x^3+2x-1=(x^2+2x+2)(x+1)+x $ $ x^2+2x+2=x(x+2)+2 $ Quindi il MCD ...

Una definizione equivalente di Categoria abeliana ha come primo punto il fatto che l'insieme delle frecce da un oggetto A a un oggetto B della categoria deve essere un gruppo abeliano. La categoria Ab dei gruppi abeliana è abeliana, ma non riesco a "visualizzare" il gruppo delle frecce da A a B. Qualcuno saprebbe darmi delucidazioni a riguardo? Ad esempio qual è l'elemento neutro o l'inverso. Sono sicuro che sia una cosa banale ma al momento ci dev'essere qualcosa che mi sfugge. Grazie

Salve a tutti! Ho una domanda riguardo l'irriducibilità su $Z_p$ con p primo. Fino ad ora non ho avuto problemi fino a che ho trovato questo esercizio : Fattorizzare in irriducibili il polinomio $x^4-x^3-7x^2+5x+10$ su $Q$, $R$, $Z_5$. Ed è facile : Su $Q : (x-2)(x+1)(x^2-5)$ Su $R : (x-2)(x+1)(x+sqrt(5))(x-sqrt(5))$ Su $Z_5$ viene $(x-2)(x+1)x^2$ E il mio libro da come soluzione $(x-2)(x+1)x^2$, ok per $(x-2)(x+1)$ ma ...

Non riesco a far tornare i conti, probabilmente è una stupidagine ma è un pò che ci son sopra... Determinare il centralizatore di [tex]$\sigma=(14)(32)$[/tex] in [tex]$S_4$[/tex] Svolgimento Poichè vale [tex]$\tau(14)(32)\tau^{-1}=(\tau(1)\tau(4))(\tau(3),\tau(2))$[/tex] si vede subito che le uniche possibilità per tau sono [tex]$(14)$[/tex] [tex]$(32)$[/tex] [tex]$(14)(32)$[/tex] [tex]$id$[/tex] Quindi il centralizzatore ha 4 elementi E fin qui sembra andare ...

Mi scuso per la poca utilità, spero che comunque qualche utente ne possa trar vantaggio, ad ogni modo l'esercizio è semplice, ma sotto esame non si è mai sicuri di nulla, mi chiedo se è svolto bene o se c'è qualche errore di qualsiasi genere. Trovare la soluzione in [tex]$ S_{10} $[/tex] di [tex]$ \sigma ^3=(1234)(56) $[/tex] Svolgimento elevando alla quarta [tex]$ {\sigma ^{3 \cdot 4}={((1234)(56))}^4=id $[/tex] dunque sigma ha odrine 12, daltronde vale il seguente risultato [tex]$ o(g \cdot h)=mcm(o(g),o(h)) $[/tex], quindi ...

Mi serve dimostrare questo lemma Siano [tex]$ E $[/tex] ed [tex]$ F $[/tex] due sottocampi di [tex]$ L $[/tex] Sia [tex]$ E $[/tex] un'estensione di Galois su [tex]E \cap F[/tex] ed [tex]F[/tex] un'estensione di Galois su [tex]E \cap F[/tex] Allora vale il seguente risultato [tex]$ Aut \left( \frac{EF}{F} \right) \simeq Aut \left( \frac{E}{E \cap F} \right) $[/tex] L'idea è quella di usare la restrizione, ovvero mostrare che il seguente è un isomorfismo [tex]$ \Phi Aut \left( \frac{EF}{F} \right) \rightarrow Aut \left( \frac{E}{E \cap F} \right) $[/tex] Dove ...