Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
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Salve,
scusate se apro un'altra discussione sui reticoli, ma quelle già presenti non chiariscono totalmente i miei dubbi e non sapevo come "collegarmici" ad una pre-esistente.
Ho un pò di confusione sui reticoli. Sul libro dice che un reticolo è un insieme parzialmente ordinato dove $AA a,b$ appartenenti al reticolo possiamo trovare un elemento minimo ed un elemento massimo.
Dunque possiamo dedurre che esistono reticoli che derivano da insieme parzialmente ordinati e reticoli ...
Leggendo le Note di Algebra di Martino mi è sovvenuto un simpatico lemma nel quale però sono convinto si trovi un errore, mi aiutate a trovarlo?
Ambiente: Sia [tex]\mathbb Z \times G[/tex] il prodotto diretto tra il gruppo degli interi con la somma ed un gruppo finito [tex]G[/tex].
Osservazioni:
1) Tutti i sottogruppi normali di [tex]\mathbb Z \times G[/tex] sono del tipo [tex]n \mathbb Z \times N[/tex] , dove [tex]N \unlhd G[/tex];
2) [tex]\mathbb Z \times \{e_G\} \unlhd \mathbb Z ...
mi è sorto un dubbio... come mai 7 non può essere considerato generatore di (Z/11Z)* ?
sia G un gruppo abeliano finito di ordine n e sia f:G->G l'omomorfismo definito da $f(a)=a^(-1)$ per ogni a appartenente a G. Sia G2={$g^2$ : g appartiene a G}. Sia H={g appartenente a G : f(g)=g}. Dimostrare che G/H è isomorfo a G2.
ho trovato questo esercizio... " sia G un gruppo e sia a appartenente a G. sia $fa:G->G$ definita da $fa(g)=a*g*a^-1$ , per ogni g appartenente a G. dimostrare che $o(fa)|o(a)$." non so proprio da dove partire...qualcuno per favore mi da una mano???
Salve a tutti,
sto ripassando le relazion di equivalenza, tra cui le relazioni "modulo R" e le relazioni sulle partizioni (insomma trova la classi di equivalenza e l'insieme quoziente).
Il punto è che avrei bisogno di esercizi da fare ma non ne riesco a trovare che facciano al caso mio.
Avete qualche suggerimento?
Sarebbe però utile che ci fossero le soluzioni, per essere sicuro del risultato.
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
Oggi un mio compagno di facoltà m'ha proposto questo esercizio, non è difficile ma bellino.
Dimostrare che se $a_1,...,a_n$ sono interi a due a due distinti e $n>=2$ un numero naturale, allora il polinomio $(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n) -1 \in\mathbb Z[x]$ è irriducibile in $\mathbb Z[x]$.
Sulla linea di questo, ho pensato di sostituire $-1$ con $1$ e credo di essere giunto al seguente risultato:
Fatto: Sia $n$ un numero naturale e $f(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)+1 \in\mathbb Z[x]$. Allora ...
Dimostrare che $Q(sqrt7+i)=Q(sqrt7,i)$.
Allora,io ho pensato che $sqrt7+i$ si può scrivere come combinazione lineare di $sqrt7$ e $i$,dunque $Q(sqrt7+i)$ è contenuto in $Q(sqrt7,i)$.
Inoltre hanno lo stesso grado di estensione (quattro) poichè ho trovato i loro polinomi minimi. Questo basta a dimostrare l'uguaglianza? O devo dimostrare che $sqrt7$ e $i$ si scrivono separatamente come combinazione lineare di elementi a coefficienti in ...
Salve a tutti!
Prima di scrivere ho provato ad effettuare una ricerca nel forum ma non ho trovato nulla che mi tornasse utile...
La mia domanda riguarda l' identità di Bezòut sui polinomi.
Per quanto riguarda gli interi, ho ben compreso l'algoritmo euclideo (delle divisioni successive) e tutti i passaggi iterativi per arrivare all'identità di Bezòut.
Mentre per i polinomi ho qualche dubbio...
Vi posto un esempio :
$ MCD (x^2+2x+2, x^3+2x-1) " in " ZZ_3 $
$ x^3+2x-1=(x^2+2x+2)(x+1)+x $
$ x^2+2x+2=x(x+2)+2 $
Quindi il MCD ...
Una definizione equivalente di Categoria abeliana ha come primo punto il fatto che l'insieme delle frecce da un oggetto A a un oggetto B della categoria deve essere un gruppo abeliano.
La categoria Ab dei gruppi abeliana è abeliana, ma non riesco a "visualizzare" il gruppo delle frecce da A a B.
Qualcuno saprebbe darmi delucidazioni a riguardo?
Ad esempio qual è l'elemento neutro o l'inverso.
Sono sicuro che sia una cosa banale ma al momento ci dev'essere qualcosa che mi sfugge.
Grazie
Salve a tutti!
Ho una domanda riguardo l'irriducibilità su $Z_p$ con p primo.
Fino ad ora non ho avuto problemi fino a che ho trovato questo esercizio :
Fattorizzare in irriducibili il polinomio $x^4-x^3-7x^2+5x+10$ su $Q$, $R$, $Z_5$.
Ed è facile :
Su $Q : (x-2)(x+1)(x^2-5)$
Su $R : (x-2)(x+1)(x+sqrt(5))(x-sqrt(5))$
Su $Z_5$ viene $(x-2)(x+1)x^2$
E il mio libro da come soluzione $(x-2)(x+1)x^2$, ok per $(x-2)(x+1)$ ma ...
Non riesco a far tornare i conti, probabilmente è una stupidagine ma è un pò che ci son sopra...
Determinare il centralizatore di [tex]$\sigma=(14)(32)$[/tex] in [tex]$S_4$[/tex]
Svolgimento
Poichè vale [tex]$\tau(14)(32)\tau^{-1}=(\tau(1)\tau(4))(\tau(3),\tau(2))$[/tex] si vede subito che le uniche possibilità per tau sono
[tex]$(14)$[/tex]
[tex]$(32)$[/tex]
[tex]$(14)(32)$[/tex]
[tex]$id$[/tex]
Quindi il centralizzatore ha 4 elementi
E fin qui sembra andare ...
Mi scuso per la poca utilità, spero che comunque qualche utente ne possa trar vantaggio, ad ogni modo l'esercizio è semplice, ma sotto esame non si è mai sicuri di nulla, mi chiedo se è svolto bene o se c'è qualche errore di qualsiasi genere.
Trovare la soluzione in [tex]$ S_{10} $[/tex] di [tex]$ \sigma ^3=(1234)(56) $[/tex]
Svolgimento
elevando alla quarta [tex]$ {\sigma ^{3 \cdot 4}={((1234)(56))}^4=id $[/tex] dunque sigma ha odrine 12, daltronde vale il seguente risultato [tex]$ o(g \cdot h)=mcm(o(g),o(h)) $[/tex], quindi ...
Mi serve dimostrare questo lemma
Siano [tex]$ E $[/tex] ed [tex]$ F $[/tex] due sottocampi di [tex]$ L $[/tex]
Sia [tex]$ E $[/tex] un'estensione di Galois su [tex]E \cap F[/tex] ed [tex]F[/tex] un'estensione di Galois su [tex]E \cap F[/tex]
Allora vale il seguente risultato
[tex]$ Aut \left( \frac{EF}{F} \right) \simeq Aut \left( \frac{E}{E \cap F} \right) $[/tex]
L'idea è quella di usare la restrizione, ovvero mostrare che il seguente è un isomorfismo
[tex]$ \Phi Aut \left( \frac{EF}{F} \right) \rightarrow Aut \left( \frac{E}{E \cap F} \right) $[/tex]
Dove ...
Teorema: ogni polinomio in una variabile a coefficienti complessi, non costante, ha una radice complessa.
Quante dimostrazioni esistono di questo teorema? Io ne ho incontrate 3, fra cui una tutta algebrica (ed era ora) che usa la teoria di Galois, che poi magari posto.
Volevo fare una sorta di censimento, chi inizia?
$R={(a,b)∈ℤxℤ; 2|5a-3b}$
$R={(a,b)∈ℤxℤ; 3|5n-2m}$
$R={(a,b)∈ℤxℤ; ∃ h∈ℤ t.c. 3a+b=4h}$
Ho già dimostrato che tutte e tre le relazioni sono di equivalenza, e ora dice di calcolare, per ciasscuna, la classe di equivalenza determinata da -1.
$[-1]R={y t.c. -1Ry}$
Nel primo caso viene 2|-5-3y
quindi ho cercato di risolvere in questo modo...
2h=-5-3y
y= - (2h+5)/3, e facendo un po' di calcoli mi risulta che [-1]R è l'insieme dei numeri dispari. E' corretto?
Nel secondo caso mi viene y=-(3h+5)/2 cioè tutto ℤ?
Stessa cosa nel ...
Salve a tutti,
ho il segunente funzione:
$f: NN rarr QQ$
Così definita:
$AAx in NN$ $f(x)=5/(x+2)$
Devo dimostrare che è ingettiva ma non surgettiva.
Per l'ingettività devo dimostrare questa formula:
$AA x_1,x_2 in NN$ $f(x_1) = f(x_2)$ $rarr$ $x_1=x_2$
Ovvero ponendo $f(x_1)=f(x_2)$ devo ottenere $x_1=x_2$
quindi:
$5/(x_1+2) = 5/(x_2+2)$
ovvero:
$1/(x_1+2) = 1/(x_2+2)$
Ma arrivato qui mi blocco e non so come proseguire con i ...
Salve a tutti,
queste secondo voi sono le pricnipali tautologie? e sopratutto vi sembrano corrette?
1)$(a rarr b)$ equivale a $negb rarr nega)$
2)$neg(a^^^b)$ equivale a $negavvvnegb$
3)$neg(avvvb)$ equivale a $nega^^^negb$
4)$a^^^(a rarr b)$ equivale a $b$
5)$(a rarr B)$ equivale a $neg(a^^^negb)$
6)$neg(nega)$ equivale ad $a$
7)$(a rarr b) ^^^ (b rarr c)$ implica $(a rarr c)$
8)$(a rarr b)$ equivale ad ...
1)
Sia $(A,+,*)$ un anello e si consideri $n \in\ N"*"$ (N privato dello zero)
Si provi che $An={na; a\in\A}$ è un sottoanello di A.
Secondo me la traccia non è completa per poter risolvere l'esercizio. Ed è necessario conoscere l'insieme A.
In quanto le primissime condizioni dei sottoanelli affermano che l'insieme del sottoanello non dev'essere vuoto e dev'essere contenuto in A, cioè l'insieme dell'anello.
Se ad esempio prendiamo $A = {0,1,2,3,4}$, allora $(A,+,*)$ è ...
Probabilmente è una cavolata, ma mi ci sono bloccato...
Sto lavorando sugli interi di Gauss, che sono un dominio euclideo e quindi a maggior ragione un dominio a fattorizzazione unica.
Ho il polinomio $13 +5i$, con:
$13 +5i = (1+i)(9-4i)$ che per motivi di norma sono irriducibili e
$13 +5i = (1-i)(4+9i)$ che, similmente, sono irriducibili.
Ma i fattori non sono associati, quindi parrebbero due fattorizzazioni diverse. Come mai?
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