Relazione di equivalenza
Salve a tutti,
sto ripassando le relazion di equivalenza, tra cui le relazioni "modulo R" e le relazioni sulle partizioni (insomma trova la classi di equivalenza e l'insieme quoziente).
Il punto è che avrei bisogno di esercizi da fare ma non ne riesco a trovare che facciano al caso mio.
Avete qualche suggerimento?
Sarebbe però utile che ci fossero le soluzioni, per essere sicuro del risultato.
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
sto ripassando le relazion di equivalenza, tra cui le relazioni "modulo R" e le relazioni sulle partizioni (insomma trova la classi di equivalenza e l'insieme quoziente).
Il punto è che avrei bisogno di esercizi da fare ma non ne riesco a trovare che facciano al caso mio.
Avete qualche suggerimento?
Sarebbe però utile che ci fossero le soluzioni, per essere sicuro del risultato.
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
Risposte
Prova un poco [url=http://www.mat.uniroma1.it/people/campanella/doku.php?id=dispense_corsi:algebra1:idx]qui[/url].
Sinceramente non ho trovato granchè riguardo a ciò che cercavo, cercavo più qualcosa di orientato alle relazioni di congruenza (come dicevo prima isniemi quozieenti eccetera).
Credo sia inutile che apro un nuovo thread e quindi ne continuo a parlare qui, vorrei fare un piccolo reassunto concettuale delle classi di equivalenza, insieme quoziente e partizione per vedere se ho le idee chiare.
In pratica una classe di equivalenza non è altro che un'estensione delle relazioni di equivalenza, e questa classe non è altro che un sottoinsieme di elementi "tutti equivalenti" tra loro rispetto ad una determinata "relazione di equivalenza".
L'insieme quoziente invece è l'insieme di tutte le classi di equivalenza, di uno stesso insieme, che non sono in relazione di equivalenza tra loro? o no? questa non me la so spiegare bene. Ad esempio se ho la relazione di equivalenza che definisce l'insieme dei numeri pari. l'altra classe di equivalenza sarà l'insieme dei numeri dispari? o semplicemente non c'è perchè dovrebbe essere "una classe sempre di numeri pari non in relazione con la precedente classe" ?
Ed invece, le partizioni, non sono altro che un modo diverso di chiamare gli insiemi quozienti? e se si che senso hanno?
Si scusate ma su questo argomento ho un pò di confusione in testa.
In pratica una classe di equivalenza non è altro che un'estensione delle relazioni di equivalenza, e questa classe non è altro che un sottoinsieme di elementi "tutti equivalenti" tra loro rispetto ad una determinata "relazione di equivalenza".
L'insieme quoziente invece è l'insieme di tutte le classi di equivalenza, di uno stesso insieme, che non sono in relazione di equivalenza tra loro? o no? questa non me la so spiegare bene. Ad esempio se ho la relazione di equivalenza che definisce l'insieme dei numeri pari. l'altra classe di equivalenza sarà l'insieme dei numeri dispari? o semplicemente non c'è perchè dovrebbe essere "una classe sempre di numeri pari non in relazione con la precedente classe" ?
Ed invece, le partizioni, non sono altro che un modo diverso di chiamare gli insiemi quozienti? e se si che senso hanno?
Si scusate ma su questo argomento ho un pò di confusione in testa.
Una relazione di equivalenza su un insieme $A$ è una relazione su $A$ che sia riflessiva, simmetrica e transitiva. Per esempio prendi come $A$ l'insieme delle persone che ci sono nel mondo. La relazione definita da
"$x sim y$ se $x$ e $y$ hanno la stessa età"
è di equivalenza (puoi verificarlo facilmente). La classe di Fabio Fazio è l'insieme delle persone che hanno la stessa età di Fabio Fazio. Naturalmente due persone che sono nella stessa classe di Fabio Fazio sono in relazione tra loro (cioè hanno la stessa età). Se ci pensi, puoi identificare la classe di Fabio Fazio col numero che rappresenta la sua età, 45. 45 è il nome convenzionalmente dato alla classe di Fabio Fazio in questo momento.
In questo caso l'insieme quoziente è quindi identificabile all'insieme delle età che hanno le persone nel mondo.
Puoi vedere una relazione di equivalenza su $A$ come una partizione dell'insieme $A$, perché dall'insieme quoziente (che determina una partizione di $A$) puoi ricostruire la relazione dicendo che due elementi stanno in relazione se appartengono alla stessa classe (allo stesso insieme della partizione).
Per capire bene ti conviene fare esercizi. Ne trovi su internet, basta che scrivi "relazione di equivalenza esercizi" o simili su Google.
"$x sim y$ se $x$ e $y$ hanno la stessa età"
è di equivalenza (puoi verificarlo facilmente). La classe di Fabio Fazio è l'insieme delle persone che hanno la stessa età di Fabio Fazio. Naturalmente due persone che sono nella stessa classe di Fabio Fazio sono in relazione tra loro (cioè hanno la stessa età). Se ci pensi, puoi identificare la classe di Fabio Fazio col numero che rappresenta la sua età, 45. 45 è il nome convenzionalmente dato alla classe di Fabio Fazio in questo momento.
In questo caso l'insieme quoziente è quindi identificabile all'insieme delle età che hanno le persone nel mondo.
Puoi vedere una relazione di equivalenza su $A$ come una partizione dell'insieme $A$, perché dall'insieme quoziente (che determina una partizione di $A$) puoi ricostruire la relazione dicendo che due elementi stanno in relazione se appartengono alla stessa classe (allo stesso insieme della partizione).
Per capire bene ti conviene fare esercizi. Ne trovi su internet, basta che scrivi "relazione di equivalenza esercizi" o simili su Google.
Stavo provando a fare questo esercizio (anche se in rete non è che se ne trovino a bizzeffe, o forse non sono bravo io a cercare):
Verificare che la relazione binaria $R$ su $ZZ$ definita da:
$xRy$ se e solo se $x-y$ è multiplo di 3
è una relazione di equivalenza;
Determinare tutti gli elementi della classe di $[5]$
Riflessività:
$xRy rarr xRx$ ovvero $3|x-x$
Ovvero $3|0$ che è vero quindi riflessiva;
Simmetria:
$xRy rarr yRx$ ovvero $3|x-y rarr 3|y-x$
A questo punto, non si tratta della congruenza $x -= y (mod 3) rarr y-=x (mod 3)$ ? e non posso semplicemente portare i membri da una parte all'altra nella congruenza?
Transitività:
$xRy ^ yRz rarr xRz$ e questa è banale perchè diciamo che $3|x-y+y-z$ ovvero $3|x-z$
Quindi abbiamo dimostrato che è di equivalenza anche se non sono sicurissimo sul come ho dimostrato la ismmetria.
Ora per indivdurare gli elementi individuati da $[5]_r$ dico che:
$[5]_r = { y in ZZ | 5Ry}$ ovvero ${y in ZZ | 3|5-y}$
A questo punto si denilinea facilmente la congruenza $5-= y (mod 3)$ ovvero $y=2$ e quindi posso dire che sono in relazione con 5 tutti gli elementi che, $mod 3$ danno resto 2?
E quindi qui, l'insieme quoziente come me lo ricavo? uno è la classe individuata da $5$, e le altre?
Verificare che la relazione binaria $R$ su $ZZ$ definita da:
$xRy$ se e solo se $x-y$ è multiplo di 3
è una relazione di equivalenza;
Determinare tutti gli elementi della classe di $[5]$
Riflessività:
$xRy rarr xRx$ ovvero $3|x-x$
Ovvero $3|0$ che è vero quindi riflessiva;
Simmetria:
$xRy rarr yRx$ ovvero $3|x-y rarr 3|y-x$
A questo punto, non si tratta della congruenza $x -= y (mod 3) rarr y-=x (mod 3)$ ? e non posso semplicemente portare i membri da una parte all'altra nella congruenza?
Transitività:
$xRy ^ yRz rarr xRz$ e questa è banale perchè diciamo che $3|x-y+y-z$ ovvero $3|x-z$
Quindi abbiamo dimostrato che è di equivalenza anche se non sono sicurissimo sul come ho dimostrato la ismmetria.
Ora per indivdurare gli elementi individuati da $[5]_r$ dico che:
$[5]_r = { y in ZZ | 5Ry}$ ovvero ${y in ZZ | 3|5-y}$
A questo punto si denilinea facilmente la congruenza $5-= y (mod 3)$ ovvero $y=2$ e quindi posso dire che sono in relazione con 5 tutti gli elementi che, $mod 3$ danno resto 2?
E quindi qui, l'insieme quoziente come me lo ricavo? uno è la classe individuata da $5$, e le altre?
per la simmetria, se $3|x-y$ allora è anche $3|-(x-y)=y-x$.
le classi di equivalenza sono le classi resto $[0],[1],[2]$, $[5]=[2]$, $5$ è solo un rappresentante della classe resto $[2]$.
spero sia chiaro. ciao.
le classi di equivalenza sono le classi resto $[0],[1],[2]$, $[5]=[2]$, $5$ è solo un rappresentante della classe resto $[2]$.
spero sia chiaro. ciao.
"adaBTTLS":
per la simmetria, se $3|x-y$ allora è anche $3|-(x-y)=y-x$.
le classi di equivalenza sono le classi resto $[0],[1],[2]$, $[5]=[2]$, $5$ è solo un rappresentante della classe resto $[2]$.
spero sia chiaro. ciao.
Giusto perchè il resto di una divione per $n$ va da $0$ a $n-1$. Ovviamente 5 è nella classe di resto di $2$.
Quindi possiamo dire che quelle sono tutte le classi di resto $mod 3$ e a seconda delle y che ci capitano svolgendo la congruenza vediamo in che classe di resto ricade, giusto?
Ma come formalizzo la classe di resto di 5, ovvero di 2? nel senso scrivo scemplicemente come ho scritto prima, ovvero t.c $3|5-y$ ? posso anche scrivere t.c $y-=2 (mod 3)$ ? o c'è una formula più specifica per dirlo?
Ovvero devo scrivere "tutti quei numeri che, divisi per 3 mi diano resto 2". Come posso scriverlo nella maniera più appropriata mediante formule matematiche?
Pensandoci, alla domanda "individua gli elementi identificati da $[5]_R$ posso scrivere:
$[5]_R = {y in ZZ | 3|5-y} = [y]_3$ ? mi sembra la maniera piu corta e "matematica" che si possa scrivere, o no?
$[5]_R = {y in ZZ | 3|5-y} = [y]_3$ ? mi sembra la maniera piu corta e "matematica" che si possa scrivere, o no?
mi pare corretto, a parte quell'$y$ che immagino volesse essere un $2$.
Ora stavo facendo questo esercizio:
Si definisca su $ZZ$ la relazione $p: apb$ se e solo se $a+b$ è multiplo di 6.
Dunque cercavo di capire se era di equivalenza, e nel caso quali fossero tutte le classi di equivalenza e come fossero definite.
Però non riesco a svolgerlo, non riesco a trovare nemmeno la riflessività, a questo punto inizio a pensare che non sia una relazione di equivalenza.
Si definisca su $ZZ$ la relazione $p: apb$ se e solo se $a+b$ è multiplo di 6.
Dunque cercavo di capire se era di equivalenza, e nel caso quali fossero tutte le classi di equivalenza e come fossero definite.
Però non riesco a svolgerlo, non riesco a trovare nemmeno la riflessività, a questo punto inizio a pensare che non sia una relazione di equivalenza.
Infatti non è né riflessiva né transitiva.
Ho un piccolo dubbio sui simboli.
Mettiamo di avere una relazione di equivalenza in $ZZ$ del tipo $xRy$ se e solo se $5x^2-y^2$ è pari
Una classe di equivalenza la posso identificare con il simbolo $[x]_R$ dove ovviamente $x$ sarà un numero $in ZZ$ ?
E l'insieme quoziente sarà quindi denotato con il simobolo $ZZ$/$R$ ?
Invece ho notato simboli del tipo $[x]_(Rf)$, per cosa si usa?
Cioè posso avere una relazione di equivalenza definita mediante una funzione $f: ID_zz$ e quindi riporto anche il simbolo $f$?
Mettiamo di avere una relazione di equivalenza in $ZZ$ del tipo $xRy$ se e solo se $5x^2-y^2$ è pari
Una classe di equivalenza la posso identificare con il simbolo $[x]_R$ dove ovviamente $x$ sarà un numero $in ZZ$ ?
E l'insieme quoziente sarà quindi denotato con il simobolo $ZZ$/$R$ ?
Invece ho notato simboli del tipo $[x]_(Rf)$, per cosa si usa?
Cioè posso avere una relazione di equivalenza definita mediante una funzione $f: ID_zz$ e quindi riporto anche il simbolo $f$?
Stavo cercando di dimostrare il seguente esercizio sulle partizioni ma mi sono un pò perso, la traccia dice:
Provare che l'insieme $F={{x,4-x}|x in ZZ}$ è una partizione di $ZZ$ e srivere la relazione di equivalenza $R_F$ da essa determinata.
Sappiamo che per dimostrare che $F$ è una partizione dobbiamo dimostrare che:
1) $AA X in F$ $X !=\theta$
2)$AA X',X'' in F$ $X' != X'' rarr X'nnX'' = \theta$
3)$uu X = A$
Ecco non riesco a dimostrare la 3) e a definire la relazione di equivalenza $R_F$
La prima è banale, diciamo semplicemente che c'è almeno un elemento $x in ZZ$ tale che quel'insieme non è vuoto;
Per la seconda ho visto che la professoressa l'ha dimostrato per assurdo dicendo che due insiemi diversi hanno intersezione diversa dall'insieme vuoto. E l'eccezione trovata è che i due insiemi sono in realtà uguali.
La terza non riesco a farla proprio, cioè come dico che l'insieme di tutte le partizioni mi da tutto $ZZ$? come lo dimostro?
Anche la dimostrazione per assurdo, non dovrebbe essere qualcosa del tipo che se abbiamo $A rarr B$ e lo vogliamo dimostrare per assurdo dimostriamo che $A rarr negB$ ? qui praticamente ha preso $X' != X'' rarr X'nnX'' != \theta$ ed ha dimostrato che $X' = X''$ ma di regola non doveva trovare l'eccezione su $X'nnX'' != \theta$ ?
Voi in pratica come lo svolgereste questo esercizio? oppure potete darmi qualche dritta?
Provare che l'insieme $F={{x,4-x}|x in ZZ}$ è una partizione di $ZZ$ e srivere la relazione di equivalenza $R_F$ da essa determinata.
Sappiamo che per dimostrare che $F$ è una partizione dobbiamo dimostrare che:
1) $AA X in F$ $X !=\theta$
2)$AA X',X'' in F$ $X' != X'' rarr X'nnX'' = \theta$
3)$uu X = A$
Ecco non riesco a dimostrare la 3) e a definire la relazione di equivalenza $R_F$
La prima è banale, diciamo semplicemente che c'è almeno un elemento $x in ZZ$ tale che quel'insieme non è vuoto;
Per la seconda ho visto che la professoressa l'ha dimostrato per assurdo dicendo che due insiemi diversi hanno intersezione diversa dall'insieme vuoto. E l'eccezione trovata è che i due insiemi sono in realtà uguali.
La terza non riesco a farla proprio, cioè come dico che l'insieme di tutte le partizioni mi da tutto $ZZ$? come lo dimostro?
Anche la dimostrazione per assurdo, non dovrebbe essere qualcosa del tipo che se abbiamo $A rarr B$ e lo vogliamo dimostrare per assurdo dimostriamo che $A rarr negB$ ? qui praticamente ha preso $X' != X'' rarr X'nnX'' != \theta$ ed ha dimostrato che $X' = X''$ ma di regola non doveva trovare l'eccezione su $X'nnX'' != \theta$ ?
Voi in pratica come lo svolgereste questo esercizio? oppure potete darmi qualche dritta?
Stavo anche provando a fare un'altro esercizio, ovvero la traccia dice:
In $ZZ$ si consideri la relazione $xRy$ equivalentemente logico a $4|3a+b$, verificare che sia di equivalenza e trovare l'insieme quoziente.
Mi sono bloccato nella simmetria, ovvero dico:
$aRb rar bRa$ quindi se la relazione dice che $4|3a+b$ devo dimostrare che $4|3b+a$
Ho riscritto $4|3b+a$ come $4|4b-b+4a-3a$. A questo punto posso dire che $4|4b+4a$ ma posso anche dire per certo che $4|-3a-b$ basandomi sulla relazione iniziale che dice che $4|3a+b$ ? se si in base a quali passaggi posso dirlo?
Edit: Dando per buono quel passaggio ho trovato che si tratta di una congruenza modulo 4, e quindi l'insieme quozienti sarà formato dalle classi da $0$ a $4-1$. Dite che è giusto?
(Scusate se vi oblitero di domande, ma non avendo le soluzioni assieme agli esercizi non vorrei aver scritto una cavolata)
In $ZZ$ si consideri la relazione $xRy$ equivalentemente logico a $4|3a+b$, verificare che sia di equivalenza e trovare l'insieme quoziente.
Mi sono bloccato nella simmetria, ovvero dico:
$aRb rar bRa$ quindi se la relazione dice che $4|3a+b$ devo dimostrare che $4|3b+a$
Ho riscritto $4|3b+a$ come $4|4b-b+4a-3a$. A questo punto posso dire che $4|4b+4a$ ma posso anche dire per certo che $4|-3a-b$ basandomi sulla relazione iniziale che dice che $4|3a+b$ ? se si in base a quali passaggi posso dirlo?
Edit: Dando per buono quel passaggio ho trovato che si tratta di una congruenza modulo 4, e quindi l'insieme quozienti sarà formato dalle classi da $0$ a $4-1$. Dite che è giusto?
(Scusate se vi oblitero di domande, ma non avendo le soluzioni assieme agli esercizi non vorrei aver scritto una cavolata)
Ok vi posto un ultimissimo dubbio e poi vado a dormire, promesso.
L'esercizio è:
Provare che la relazione R così definita:
$xRy$ <=> $x=y vvv x*y=2$ è di equivalenza.
Scrivere gli elementi che costituiscono ciascuna classe di equivalenza.
Ecco io ho dimostrato che è di equivalenza, ma come scrivo gli elementi di ciascuna classe di equivalenza?
Cioè io sono abituato a scrivere gli elementi delle classi di equivalenza $mod n$ che altro non sono che i resti di una divisione, allora tutti quelli con lo stesso resto equivalgono ad una stessa classe. Ma in questo caso qual'è il procedimento?
Grazie ancora a tutti.
L'esercizio è:
Provare che la relazione R così definita:
$xRy$ <=> $x=y vvv x*y=2$ è di equivalenza.
Scrivere gli elementi che costituiscono ciascuna classe di equivalenza.
Ecco io ho dimostrato che è di equivalenza, ma come scrivo gli elementi di ciascuna classe di equivalenza?
Cioè io sono abituato a scrivere gli elementi delle classi di equivalenza $mod n$ che altro non sono che i resti di una divisione, allora tutti quelli con lo stesso resto equivalgono ad una stessa classe. Ma in questo caso qual'è il procedimento?
Grazie ancora a tutti.
"Neptune":
Una classe di equivalenza la posso identificare con il simbolo $[x]_R$ dove ovviamente $x$ sarà un numero $in ZZ$ ?
[...]
Cioè posso avere una relazione di equivalenza definita mediante una funzione [...]
Sì, a patto che la relazione sia definita in [tex]\mathbb{Z}[/tex]: se fossse definita nell'insieme [tex]A[/tex] avresti [tex]x \in A[/tex].
Sì, a volte si può definire una relazione di equivalenza con le funzioni.
"Neptune":
Stavo cercando di dimostrare il seguente esercizio sulle partizioni ma mi sono un pò perso, la traccia dice:
[...]
Voi in pratica come lo svolgereste questo esercizio? oppure potete darmi qualche dritta?
La dimostrazione della 2) da parte della tua prof. non è una vera e propria dimostrazione per assurdo: la dimostrazione per assurdo è qualche cosa di un poco più sofisticato del dimostrare che se [tex]X_{1}\cap X_{2} \neq \varnothing[/tex] allora si ha [tex]X_{1}=X_{2}[/tex]. Questa dimostrazione prova che [tex]X_{1}\neq X_{2} \implies X_{1}\cap X_{2}=\varnothing[/tex] mostrando che vale [tex]X_{1}\cap X_{2} \neq \varnothing \implies X_{1}=X_{2}[/tex]: tale dimostrazione va più propriamente sotto il nome di dimostrazione per contrapposizione o del contronominale.
Una dimostrazione per assurdo di [tex]A \implies B[/tex] procede mostrando che [tex](A \land \neg B) \implies C[/tex] dove [tex]C[/tex] è una contraddizione.
Quanto all'esercizio, gli elementi di [tex]F[/tex] sono gli insiemi formati da due numeri interi tali che la loro somma fa [tex]4[/tex]: qualunque sia [tex]X \in F[/tex] risulta [tex]X \neq \varnothing[/tex] perché, detto in termini poveri, l'equazione [tex]x+y=4[/tex] è risolvibile in [tex]\mathbb{Z}[/tex] qualunque sia il fissato [tex]x \in \mathbb{Z}[/tex] ed allora puoi mettere almeno questo [tex]x[/tex] in [tex]F[/tex] (aagiungendovi poi ovviamente [tex]y=4-x[/tex]).
La prova della 2) può farsi anche in modo diretto: se [tex]\{x,4-x\} \neq \{\bar{x}, 4-\bar{x}\}[/tex] allora i due insiemi o differiscono per tutti i termini in essi contenuti, sicché sono disgiunti, o differiscono per un solo elemento, ma, se differiscono per questo elemento, le soluzioni dell'equazione [tex]x+y=4[/tex] sono diverse, una volta che [tex]x[/tex] od [tex]y[/tex] rappresenta come elemento fissato uno dei due elementi che sono diversi, sicché anche i restanti due elementi sono diversi e, di conseguenza, gli insiemi sono disgiunti.
[tex]F \subseteq \wp(\mathbb{Z})[/tex], poiché ciascun elemento di [tex]F[/tex] è una parte di [tex]\mathbb{Z}[/tex], quindi [tex]\displaystyle \bigcup_{X \in F} X \subseteq \mathbb{Z}[/tex], quindi occorre e basta mostrare che [tex]\displaystyle \mathbb{Z}\subseteq \bigcup_{X \in F} X[/tex]: prova un poco.
La relazione [tex]\mathcal{R}_{F}[/tex] indotta da [tex]F[/tex] è quella che mette due elementi di [tex]\mathbb{Z}[/tex] nella stessa classe di equivalenza sse essi stanno... dove stanno?
"Neptune":
Stavo anche provando a fare un'altro esercizio, ovvero la traccia dice:
[...]
Hai detto bene, solo che poi ti sei perso.
Se [tex]x \sim y[/tex] allora [tex]4 \mid 3x +y[/tex], ma [tex]3x+y=4x-x+4y-3y=4(x+y)-(3y+x)[/tex] e poiché [tex]4\mid 3x+y[/tex] allora [tex]4\mid 4(x+y)-(3y+x)[/tex], ma essendo banalmente [tex]4(x+y)[/tex] un multiplo di [tex]4[/tex] allora deve essere [tex]4\mid -(3y+x)[/tex] e poiché i segni non contano [tex]4\mid 3y+x[/tex], ovvero [tex]y \sim x[/tex].
"Neptune":
Ok vi posto un ultimissimo dubbio e poi vado a dormire, promesso.
[...]
Grazie ancora a tutti.
Quando si parla di classe di equivalenza modulo una certa relazione non si intende per forza che quello sia l'insieme che contiene i numeri che divisi per un numero danno lo stesso resto.
Preseumendo che la relazione sia definita in [tex]\mathbb{Z}[/tex] le classi di equivalenza sono dei singleton, ciascuno dei quali contenente un intero, ad eccezione di [tex]\{1,2\}[/tex].
WiZaRd:
Hai detto bene, solo che poi ti sei perso.
Se [tex]x \sim y[/tex] allora [tex]4 \mid 3x +y[/tex], ma [tex]3x+y=4x-x+4y-3y=4(x+y)-(3y+x)[/tex] e poiché [tex]4\mid 3x+y[/tex] allora [tex]4\mid 4(x+y)-(3y+x)[/tex], ma essendo banalmente [tex]4(x+y)[/tex] un multiplo di [tex]4[/tex] allora deve essere [tex]4\mid -(3y+x)[/tex] e poiché i segni non contano [tex]4\mid 3y+x[/tex], ovvero [tex]y \sim x[/tex].
Sono riuscito a trovare un esercizio della prof e lei dice qualcosa del tipo:
Per ipotesi abbiamo che $4|3a+b$ e sicuramente $4|4a+4b$ quindi dice che $4$ dividerà la seconda meno la prima ovvero $4|4a-3a+4b-b$ che è proprio $4|3b+a$. Dici che è giusto come ragionamento? Anche perchè mi viene piu facile.
Inoltre rinnovo la domanda riguardo a questo esercizio: Si può dire che non è altro che una relazione di congruenza $mod 4$ ?
Sempre secondo un esercizio della professoressa la relazione dice che $4|3a+b$ e $4|4a$ quindi $4|4a-3a-b$ ovvero possiamo dire che $4|a-b$ ovvero che non è altro che una congruenza $mod 4$ e quindi le classi di equivalenza non saranno altro che le classi di resto da $0$ a $3$ ?
p.s: Chiedo scusa, sarò troppo preso dalla matematica ma non riesco a capire perchè mi sfasa cosi il quote.
Sì.
P.S.
Non dipende da te.
P.S.
Non dipende da te.
"WiZaRd":
Quando si parla di classe di equivalenza modulo una certa relazione non si intende per forza che quello sia l'insieme che contiene i numeri che divisi per un numero danno lo stesso resto.
Preseumendo che la relazione sia definita in [tex]\mathbb{Z}[/tex] le classi di equivalenza sono dei singleton, ciascuno dei quali contenente un intero, ad eccezione di [tex]\{1,2\}[/tex].
Ma quindi nel caso specifico la relazine è $x=y vv x*y=2$ ed è una relazione su $ZZ$.
Qui praticamente dice che un numero O è in relazione con se stesso O è in relazione con un altro numero ed il loro prodotto risulta essere $2$, no?
Quindi se prendo $[1]_R$ sarà in relazione o con e stesso o con $[1]_R$;
Se prendo $[-1]_R$ sarà in relazione o con e stesso o con $[-2]_R$;
Se prendo $[2]_R$ sarà in relazione o con e stesso o con $[1]_R$;
Se prendo $[-2]_R$ sarà in relazione o con e stesso o con $[-1]_R$;
Ovvero fino ad ora abbiamo le classi di equivalenza $[-1]_R$ e $[1]_R$, però si ha anche che ogni numero è in relazione con se stesso.
Quindi abbiamo tante classi di un solo numero per i numeri maggiori di 2 o minori di -2;
E poi abbiamo le due classi di due elementi che abbiamo definito sopra;
O sbaglio? quindi le classi di equivalenza sono infinite.
Una relazione è sempre una parte del prodotto cartesiano di due insiemi, quindi non puoi dire che un elemento o è in relazione con sé stesso o è in relazione con un altro elemento. Un elemento è sempre in relazione con un altro elemento, oppure non è in relazione con un altro elemento.
La relazione [tex]x\mathcal{R}y \iff x=y \lor x\cdot y=2[/tex] ti dice che, presi due elementi di [tex]\mathbb{Z}[/tex], questi sono in relazione sse essi sono uguali oppure il loro prodotto restituisce due. Preso un qualunque intero [tex]>2[/tex] o [tex]<2[/tex], questo può essere in relazione solo con sé stesso, poiché per ottenere [tex]2[/tex] con questo intero dovresti usare un numero razionale, quindi per [tex]x \in \mathbb{Z} : \lvert x \rvert > 2[/tex] la classe di equivalenza modulo [tex]\mathcal{R}[/tex] è un singleton: [tex][x]_{R}=\{x\}[/tex].
Preso [tex]x=0[/tex], anche [tex]0[/tex] è in relazione solo con sé stesso: [tex][0]_{\mathcal{R}}=\{0\}[/tex].
Preso [tex]x=1[/tex] questo è in relazione con [tex]2[/tex] (oltre che con sé stesso) e viceversa, quindi [tex][1]_{\mathcal{R}}=\{1,2\}[/tex].
Preso [tex]x= -1[/tex], questo è in relazione con [tex]-2[/tex] (oltre che con sé stesso) e viceversa, quindi [tex][-1]_{\mathcal{R}}=\{-1,-2\}[/tex].
La relazione [tex]x\mathcal{R}y \iff x=y \lor x\cdot y=2[/tex] ti dice che, presi due elementi di [tex]\mathbb{Z}[/tex], questi sono in relazione sse essi sono uguali oppure il loro prodotto restituisce due. Preso un qualunque intero [tex]>2[/tex] o [tex]<2[/tex], questo può essere in relazione solo con sé stesso, poiché per ottenere [tex]2[/tex] con questo intero dovresti usare un numero razionale, quindi per [tex]x \in \mathbb{Z} : \lvert x \rvert > 2[/tex] la classe di equivalenza modulo [tex]\mathcal{R}[/tex] è un singleton: [tex][x]_{R}=\{x\}[/tex].
Preso [tex]x=0[/tex], anche [tex]0[/tex] è in relazione solo con sé stesso: [tex][0]_{\mathcal{R}}=\{0\}[/tex].
Preso [tex]x=1[/tex] questo è in relazione con [tex]2[/tex] (oltre che con sé stesso) e viceversa, quindi [tex][1]_{\mathcal{R}}=\{1,2\}[/tex].
Preso [tex]x= -1[/tex], questo è in relazione con [tex]-2[/tex] (oltre che con sé stesso) e viceversa, quindi [tex][-1]_{\mathcal{R}}=\{-1,-2\}[/tex].
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo