Reticoli ordinati e retcioli algebrici: Differenze.
Salve,
scusate se apro un'altra discussione sui reticoli, ma quelle già presenti non chiariscono totalmente i miei dubbi e non sapevo come "collegarmici" ad una pre-esistente.
Ho un pò di confusione sui reticoli. Sul libro dice che un reticolo è un insieme parzialmente ordinato dove $AA a,b$ appartenenti al reticolo possiamo trovare un elemento minimo ed un elemento massimo.
Dunque possiamo dedurre che esistono reticoli che derivano da insieme parzialmente ordinati e reticoli che derivano da insieme totalmente ordinati? potreste farmi qualche esempio?
Detto questo si parla di maggiornati e minoranti. Da ciò che ho capito se abbiamo un insieme parzialmente ordinato e lo chiamamimo $A$, e ne prendiamo un suo sottoinsieme $B$ possiamo dire, magari guardando un diagramma di Hasse, che il gruppo dei maggioranti di $B$ sono "tutti gli elementi" $<=$ dell'elemento massimo di $B$.
Da qui però diciamo che, non sempre c'è un elemento massimo di $B$; l'elemento massimo potrebbe anche essere esterno a $B$? (ad esempio se B non ha un elemento massimo?); e non è detto che esiste un maggiornate di $B$. Ovvero quando si parla di elementi superiori ed inferiori, si parla rispettivamente del minimo dei maggiornati e del massimo dei minoranti, che potrebbero anche essere esterni a $B$, giusto?
Poi tra gli appunti ho la definizione di reticolo ordinato, e riprende dicendo che un insieme ordinato si dice reticolo se $AA a,b$ appartenenti all'insieme esiste un elemento inferiore ed un elemento superiore. Ma questa non è "la base" per far si che un gruppo sia un reticolo? Ovvero "che senso ha parlare di reticolo ordinato"? un reticolo non dovrebbe essere sempre e comunque ordinato? (magari non totalmente ma almeno parzialmente?).
Poi parla di reticoli algebrici e di come essi si possono convertire in reticoli ordinati. Però non ho ben capito cosa sono questi reticoli algebrici e che connessione c'è per riuscire a convertirli in reticoli ordinati.
Scusate per la lunga serie di domande e supposizioni probabilmente errate, ma sono un pò confuso. Ringrazio anticipatamente per la pazienza chiunque abbia voglia di rispondermi
scusate se apro un'altra discussione sui reticoli, ma quelle già presenti non chiariscono totalmente i miei dubbi e non sapevo come "collegarmici" ad una pre-esistente.
Ho un pò di confusione sui reticoli. Sul libro dice che un reticolo è un insieme parzialmente ordinato dove $AA a,b$ appartenenti al reticolo possiamo trovare un elemento minimo ed un elemento massimo.
Dunque possiamo dedurre che esistono reticoli che derivano da insieme parzialmente ordinati e reticoli che derivano da insieme totalmente ordinati? potreste farmi qualche esempio?
Detto questo si parla di maggiornati e minoranti. Da ciò che ho capito se abbiamo un insieme parzialmente ordinato e lo chiamamimo $A$, e ne prendiamo un suo sottoinsieme $B$ possiamo dire, magari guardando un diagramma di Hasse, che il gruppo dei maggioranti di $B$ sono "tutti gli elementi" $<=$ dell'elemento massimo di $B$.
Da qui però diciamo che, non sempre c'è un elemento massimo di $B$; l'elemento massimo potrebbe anche essere esterno a $B$? (ad esempio se B non ha un elemento massimo?); e non è detto che esiste un maggiornate di $B$. Ovvero quando si parla di elementi superiori ed inferiori, si parla rispettivamente del minimo dei maggiornati e del massimo dei minoranti, che potrebbero anche essere esterni a $B$, giusto?
Poi tra gli appunti ho la definizione di reticolo ordinato, e riprende dicendo che un insieme ordinato si dice reticolo se $AA a,b$ appartenenti all'insieme esiste un elemento inferiore ed un elemento superiore. Ma questa non è "la base" per far si che un gruppo sia un reticolo? Ovvero "che senso ha parlare di reticolo ordinato"? un reticolo non dovrebbe essere sempre e comunque ordinato? (magari non totalmente ma almeno parzialmente?).
Poi parla di reticoli algebrici e di come essi si possono convertire in reticoli ordinati. Però non ho ben capito cosa sono questi reticoli algebrici e che connessione c'è per riuscire a convertirli in reticoli ordinati.
Scusate per la lunga serie di domande e supposizioni probabilmente errate, ma sono un pò confuso. Ringrazio anticipatamente per la pazienza chiunque abbia voglia di rispondermi
Risposte
Avrei anche un'altro dubbio che mi è venuto li per li.
Ho un insieme chiamiamolo $A={e,d,g,f}$. Nel diagramma di hasse ho sotto $e$ e $d$ e sono entrambi collegati a $f$ mentre solo $e$ è collegato a $g$.
Quindi, i maggioranti del sottoinsieme composto da solo ${e,d}$ sarà solo $f$ ed essendo l'unico sarà anche l'elemento superiore del nostro sottoinsieme?
Ho un insieme chiamiamolo $A={e,d,g,f}$. Nel diagramma di hasse ho sotto $e$ e $d$ e sono entrambi collegati a $f$ mentre solo $e$ è collegato a $g$.
Quindi, i maggioranti del sottoinsieme composto da solo ${e,d}$ sarà solo $f$ ed essendo l'unico sarà anche l'elemento superiore del nostro sottoinsieme?
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