Ordine dell'isomorfismo??????
ho trovato questo esercizio... " sia G un gruppo e sia a appartenente a G. sia $fa:G->G$ definita da $fa(g)=a*g*a^-1$ , per ogni g appartenente a G. dimostrare che $o(fa)|o(a)$." non so proprio da dove partire...qualcuno per favore mi da una mano???
Risposte
Il metodo piu' "interdisciplinare" e' considerare il centro del gruppo $G$, cioe'
$Z={g in G\ |\ gx=xg\ \forall x in G}$,
il sottoinsieme di $G$ che consiste degli elementi di $G$ che commutano con ogni elemento di $G$. E' facile vedere che $Z$ e' un sottogruppo normale di $G$.
Ora osserva che l'ordine di $fa$ coincide col minimo intero $n$ tale che $a^n in Z$.
E osserva che se $m$ e' l'ordine di $a$ allora $a^m=1 in Z$.
Cosa succede nel quoziente $G//Z$?
$Z={g in G\ |\ gx=xg\ \forall x in G}$,
il sottoinsieme di $G$ che consiste degli elementi di $G$ che commutano con ogni elemento di $G$. E' facile vedere che $Z$ e' un sottogruppo normale di $G$.
Ora osserva che l'ordine di $fa$ coincide col minimo intero $n$ tale che $a^n in Z$.
E osserva che se $m$ e' l'ordine di $a$ allora $a^m=1 in Z$.
Cosa succede nel quoziente $G//Z$?
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