Esercizio su estensioni di campi

[kekko989]

Dimostrare che $Q(sqrt7+i)=Q(sqrt7,i)$.
Allora,io ho pensato che $sqrt7+i$ si può scrivere come combinazione lineare di $sqrt7$ e $i$,dunque $Q(sqrt7+i)$ è contenuto in $Q(sqrt7,i)$.
Inoltre hanno lo stesso grado di estensione (quattro) poichè ho trovato i loro polinomi minimi. Questo basta a dimostrare l'uguaglianza? O devo dimostrare che $sqrt7$ e $i$ si scrivono separatamente come combinazione lineare di elementi a coefficienti in $Q(sqrt7+i)$? Perchè a quel punto mi blocco. Grazie!!

[Studente Anonimo]

"kekko89":$sqrt7+i$ si può scrivere come combinazione lineare di $sqrt7$ e $i$,dunque $Q(sqrt7+i)$ è contenuto in $Q(sqrt7,i)$.
Inoltre hanno lo stesso grado di estensione (quattro) [...] Questo basta a dimostrare l'uguaglianza?

Sì.

[kekko989]

Grazie! ne approfitto per chiederti un altro paio di cose! sia $u=sqrt(3+sqrt11))$. Scrivere $2u/(u^3-u))$ come polinomio in Q(u). Non saprei neanche cme partire sinceramente..magari basta solo l'imput..grazie!

[Studente Anonimo]

Parti osservando che [tex]u^2=3+\sqrt{11}[/tex], quindi [tex](u^2-3)^2=11[/tex]. Da qui ricavi il polinomio minimo di [tex]u[/tex]...

[kekko989]

Si,il polinomio minimo lo avevo trovato..è lo scrivere $(2u)/(u^3-u)$ come polinomio che proprio non capisco cosa mi chieda e come operare..

[Studente Anonimo]

"kekko89":Si,il polinomio minimo lo avevo trovato..è lo scrivere $(2u)/(u^3-u)$ come polinomio che proprio non capisco cosa mi chieda e come operare..

Quando esponi un tuo dubbio ti consiglio di scrivere tutto ciò che hai pensato, tutte le idee che hai avuto in proposito.

Quello che devi fare è scrivere $1/(u^3-u)$ come polinomio in $u$ a coefficienti in $QQ$ (poi lo moltiplicherai per $2u$ per trovare il polinomio richiesto).

Chiama $f(x)$ il polinomio minimo di $u$. Sei d'accordo che $QQ(u) cong QQ[X]//(f(x))$ ?
Sai come si fa ad invertire la classe di un polinomio modulo $f(x)$?

[kekko989]

si,all'isomorfismo ci sono.. per invertire la classe di un polinomio suppongo che si debba trovare un altro polinomio che moltiplicato a quello di partenza mi dia f(x) o comunque un suo multiplo..

[Studente Anonimo]

"kekko89":si,all'isomorfismo ci sono.. per invertire la classe di un polinomio suppongo che si debba trovare un altro polinomio che moltiplicato a quello di partenza mi dia f(x) o comunque un suo multiplo..

No: invertire il polinomio $g(x)$ modulo $f(x)$ significa trovare un polinomio $a(x)$ tale che $a(x)g(x) equiv 1$ modulo $f(x)$, ovvero tale che $f(x)$ divida $a(x)g(x)-1$. In altre parole devi trovare due polinomi $a(x)$ e $b(x)$ tali che $a(x)g(x)+b(x)f(x)=1$.

Per questo ricorri all'algoritmo di Euclide.

Una volta fatto ciò fai la sostituzione $x=u$ e trovi qualcosa di interessante.

[kekko989]

ok,quindi la mia g(x) è il polinomio 1/x^3-x? poi sostituendo x=u trovo che $a(x)$ è proprio l'inversa. Ma quindi quando mi fanno una richiesta del genere,voglio che scrivo il polinomio dato nella forma: $a_0u+a_1u^2+a_2u^3$ ecc con opportuni coefficienti razionali?

[Studente Anonimo]

"kekko89":ok,quindi la mia g(x) è il polinomio 1/x^3-x? poi sostituendo x=u trovo che $a(x)$ è proprio l'inversa. Ma quindi quando mi fanno una richiesta del genere,voglio che scrivo il polinomio dato nella forma: $a_0u+a_1u^2+a_2u^3$ ecc con opportuni coefficienti razionali?

(edit)Sì vogliono quello. Hai trovato i polinomi $a(x)$ e $b(x)$ come ho scritto sopra?

"kekko89":ok,quindi la mia g(x) è il polinomio 1/x^3-x?

$1/(x^3-x)$ non è un polinomio.

[kekko989]

si in effetti quello non è un polinomio,ho qualche amnesia pre-esame scusami!! Ma quindi quale sarebbe la mia g(x)? non riesco a seguire un ragionamento.

[Studente Anonimo]

Lo scrivo meglio.

Chiamo [tex]f(x)[/tex] il polinomio minimo di [tex]u[/tex], e chiamo [tex]g(x)[/tex] il polinomio [tex]x^3-x[/tex].

Passo uno: usando l'algoritmo di Euclide trovi due polinomi [tex]a(x)[/tex] e [tex]b(x)[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{Q}[/tex] tali che [tex]a(x)g(x)+b(x)f(x)=1[/tex].

Passo due: sostituisci [tex]x=u[/tex] alla relazione ottenuta. Siccome [tex]f(u)=0[/tex] il secondo addendo a sinistra si annulla e ottieni [tex]a(u)g(u)=1[/tex], da cui ricavi che [tex]a(u)=1/g(u)=1/(u^3-u)[/tex].

Ne segue che [tex]2u/(u^3-u) = 2u \cdot a(u)[/tex], e questo è un polinomio in [tex]u[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{Q}[/tex].

[kekko989]

ok,il procedimento l'ho capito..i calcoli li rimando a domani mattina,visto che ormai non mi viene più niente.. quindi per esempio si se mi dovessero chiedere in un altro esercizio di scrivere $(2u)/(u+1)$ come polinomio in u,trovo l'inverso del polinomio $x+1$ e poi,dopo la sostituzione $x=u$ moltiplico per 2u ? Grazie mille!!!

[Studente Anonimo]

"kekko89":per esempio si se mi dovessero chiedere in un altro esercizio di scrivere $(2u)/(u+1)$ come polinomio in u,trovo l'inverso del polinomio $x+1$ e poi,dopo la sostituzione $x=u$ moltiplico per 2u ? Grazie mille!!!

Esatto, l'inverso modulo il polinomio minimo di $u$. Prego, ciao.