Congetture sui numeri primi [Funzione Bersana(n)]

[Bersan]

Ciao a tutti. Mi chiamo Bersan e sono un appassionato di logica, matematica e in particolare di numeri. Ho sviluppato una particolare funzione che prendendo come argomento un numero intero positivo n determina se 2*n+1 è primo. Siccome i miei amici etichettano benevolmente come "bersanate" le mie riflessioni ho deciso di chiamare la funzione Bersana. Chiedo scusa in anticipo per la formattazione del messaggio ma essendo non vedente è un compito difficile per me.



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• Bersana(n) è sempre compreso da p + 1 a n dove p è la massima potenza di 2 inferiore a n
• Se Bersana(n) = n allora ( 2 * n + 1) è numero primo
• Se Bersana(n) non è un divisore di n allora ( 2 * n + 1) non è numero primo
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Funzione Bersana(N)
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Bersana(n) agisce sull'insieme dei numeri interi positivi da 1 a n.
Modifica la posizione degli elementi dell'insieme, tramite la procedura che spiego in seguito, e restituisce il numero di volte in cui bisogna applicare tale procedura affinché gli elementi tornino alla loro disposizione iniziale


Se n è pari


posiziona nella prima metà dell'insieme in ordine decrescente gli elementi che prima occupavano posizioni pari e nella seconda metà in ordine crescente quelli che occupavano posizioni dispari.

{n, n-2, n-4, ..., 2, 1, 3, 5, ..., n-1}


Dunque per ogni vp (vecchia posizione) la np (nuova posizione) sarà:

Se vp è pari: np = n / 2 + 1 - vp / 2
Altrimenti: np = n / 2 + (vp + 1) / 2

ad esempio per n = 10

(posizione iniziale) = { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}

bersana:

1. { 10 8 6 4 2 1 3 5 7 9 }
2. { 9 5 1 4 8 10 6 2 3 7 }
3. { 7 2 10 4 5 9 1 8 6 3 }
4. { 3 8 9 4 2 7 10 5 1 6 }
5. { 6 5 7 4 8 3 9 2 10 1 }
6. { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} = (posizione iniziale)

bersana(10) = 6



Se n è dispari


Posiziona nell'insieme in ordine decrescente gli elementi che prima occupavano posizioni dispari e in seguito in ordine crescente quelli che occupavano posizioni pari.

{n, n-2, n-4, ..., 1, 2, 4, 6, ..., n-1}


Dunque per ogni vp (vecchia posizione) la np (nuova posizione) sarà:

Se vp è pari: np = (n + 1) / 2 + vp / 2
Altrimenti: np = (n + 1) / 2 - (vp - 1) / 2

ad esempio per n = 9

(posizione iniziale) = { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 }

Bersana:

1. { 9 7 5 3 1 2 4 6 8 }
2. { 8 4 1 5 9 7 3 2 6 }
3. { 6 3 9 1 8 4 5 7 2 }
4. { 2 5 8 9 6 3 1 4 7 }
5. { 7 1 6 8 2 5 9 3 4 }
6. { 4 9 2 6 7 1 8 5 3 }
7. { 3 8 7 2 4 9 6 1 5 }
8. { 5 6 4 7 3 8 2 9 1 }
9. { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = (posizione iniziale)

bersana(9) = 9



Che ne pensate?

[vict85]

Penso che la sezione corretta sia Informatica.

Non ci ho pensato molto comunque su quali basi tu ritieni che i primi sono tutti e soli gli elementi che hanno bersana(n)=n? Può succedere che bersana(n)|n divida n?

[Bersan]

"vict85":Penso che la sezione corretta sia Informatica.

Non ci ho pensato molto comunque su quali basi tu ritieni che i primi sono tutti e soli gli elementi che hanno bersana(n)=n? Può succedere che bersana(n)|n divida n?

Scusandomi per la mia scarsa conoscenza della terminologia cerco di spiegarmi meglio ripetendo che le mie sono solo congetture.

Ho osservato per n da 1 a 2^16
(tutti i primi fino al valore massimo di 2*n+1 sono 12250)

1.
La condizione (Bersana(n) = n) si verifica 6899 volte e che in tutti i casi 2*n+1 è primo

2. La condizione (n divisibile per Bersana(n))
Si verifica 12300 volte e 2*n+1 e primo in 12250 casi (tutti i primi del intervallo). Rimane il fatto che in 50 casi 2*n+1 non è primo.
Si può anche dire che se n non è divisibile per Bersana(n) allora 2*n+1 non è primo

3
se alla condizione (n divisibile per Bersana(n)) si aggiunge che (n si Bersana regolarmente [Il concetto della Regolarità della funzione Bersana, lo spiego in seguito])
I casi di 2*n+1 non primi si riducono a 9 è il resto sono tutti i primi del intervallo
Si può anche dire che se n non si Bersana regolarmente allora 2*n+1 non è primo

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Regolarità della funzione Bersana(n)
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Si può notare che durante le procedure che modificano le posizioni agli elementi del insieme questi non si comportano sempre in modo analogo.

Si può dire che n si Bersana regolarmente se e solo se tutti gli elementi del insieme impiegano lo stesso numero di modifiche della propria posizione per ritornare a loro posto.

Ad esempio per n = 10

Bersana:
1. { 10 8 6 4 2 1 3 5 7 9 }
2. { 9 5 1 4 8 10 6 2 3 7 }
3. { 7 2 10 4 5 9 1 8 6 3 }
4. { 3 8 9 4 2 7 10 5 1 6 }
5. { 6 5 7 4 8 3 9 2 10 1 }
6. { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10} = (posizione iniziale)

Basterebbe il fatto che l'elemento nella posizione 4 rimane sempre al suo posto per dire che 10 non si bersana regolarmente



Per n = 8

Bersana:
1. { 8 6 4 2 1 3 5 7 }
2. { 7 3 2 6 8 4 1 5 }
3. { 5 4 6 3 7 2 8 1 }
4. { 1 2 3 4 5 6 7 8 }
Bersana(n) = 4
Tutti gli elementi fanno un percorso di 4 passaggi per tornare a loro posto.
Dunque si può dire che 8 si Bersana regolarmente

[vict85]

Terminologia? Ti ho solo chiesto che considerazioni ti portano a ritenere che il risultato della funzione fosse quello che hai detto tu.

Come funzione è piuttosto inefficiente: $o(N^2)$ come complessità computazionale e $o(N)$ come uso di memoria (più eventualmente i controlli sulla regolarità). Il crivello di Eratostene è migliore sia come complessità che, in alcune varianti, come memoria. Il tuo metodo potrebbe essere migliore se tu trovassi l'ordine della permutazione da te definita.
Matematicamente parlando non si può dedurre la correttezza della funzione da $2^16$ tentativi (e neanche da un numero molto più grande).

[Bersan]

Purtroppo io non ho la dimostrazione delle mie congetture che sono solo frutto delle mie osservazioni. Inoltre sono convinto che le mie modestissime conoscenze di matematica non mi consentano di riuscire a dimostrarle.
Se qualcuno volesse dimostrare o confutare una o più delle seguenti affermazioni sarei molto felice.


• Se Bersana(n) = n allora 2*n+1 è primo

• Se Bersana(n) non è un divisore di n allora 2*n+1 non è primo

• Se n non si Bersana regolarmente allora 2*n+1 non è primo

• il valore di Bersana(n) non supera n

• Quando il primo elemento dell'insieme n durante la funzione Bersana(n) torna al suo posto tutti gli altri elementi sono a loro posto.

• Il valore minimo di Bersana(n) non può essere inferiore a p dove p è la minima potenza di 2 maggiore di n

• Bersana(2^p) = P + 1 (valore minimo di Bersana)

• Bersana(2^p × [2^(p+1) ± 1]) = 3(p+1)

• Bersana(2^p × (2^p ± 1)) = 2(2p +1)

• Bersana(2^p × [2^(p-1) ± 1]) = p × (2^p ± 1)


Grazie!