Isomorfismo tra anelli
Mi stavo chiedendo quale relazione ci potesse essere tra [tex]\mathbb{R} ^2[/tex] e [tex]\mathbb{C}[/tex] .
Più in particolare, intesi questi come strutture algebriche, se fosse possibile metterli a isomorfismo.
[tex]\mathbb{R} ^2 \simeq \mathbb{C}[/tex]
Subito mi sono reso conto che R2 non è campo, in quanto non è neppure dominio (basti pensare a [tex](1,0)*(0,1)=(0,0)[/tex] .
Tra questi però vi potrebbe comunque essere un morfismo di anelli??
subito mi è venuto da buttare giù questo:
[tex]f: \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{C}[/tex]
[tex](a,b) \rightarrow a+bi[/tex]
Sul fatto che questa funzione sia biettiva non vi è ombra di dubbio (o sbaglio?), ma il problema sta nel considerarla come morfismo, ovvero prendendo in considerazione anche le operazioni, e qui casca tutto, basti pensare infatti che:
[tex]f((1,1)) = 1+i[/tex]
mentre l' elemento neutro complesso è 1.
E non riesco a trovare proprio come fare..
Più in particolare, intesi questi come strutture algebriche, se fosse possibile metterli a isomorfismo.
[tex]\mathbb{R} ^2 \simeq \mathbb{C}[/tex]
Subito mi sono reso conto che R2 non è campo, in quanto non è neppure dominio (basti pensare a [tex](1,0)*(0,1)=(0,0)[/tex] .
Tra questi però vi potrebbe comunque essere un morfismo di anelli??
subito mi è venuto da buttare giù questo:
[tex]f: \mathbb{R} ^2 \rightarrow \mathbb{C}[/tex]
[tex](a,b) \rightarrow a+bi[/tex]
Sul fatto che questa funzione sia biettiva non vi è ombra di dubbio (o sbaglio?), ma il problema sta nel considerarla come morfismo, ovvero prendendo in considerazione anche le operazioni, e qui casca tutto, basti pensare infatti che:
[tex]f((1,1)) = 1+i[/tex]
mentre l' elemento neutro complesso è 1.
E non riesco a trovare proprio come fare..
Risposte
"Hop Frog":
Mi stavo chiedendo quale relazione ci potesse essere tra [tex]\mathbb{R} ^2[/tex] e [tex]\mathbb{C}[/tex] .
Più in particolare, intesi questi come strutture algebriche, se fosse possibile metterli a isomorfismo.
[tex]\mathbb{R} ^2 \simeq \mathbb{C}[/tex]
Subito mi sono reso conto che R2 non è campo, in quanto non è neppure dominio (basti pensare a [tex](1,0)*(0,1)=(0,0)[/tex] .
Certo, ma tutto dipende dall'operazione che definisci.
Come definisci tu [tex]*[/tex]?
oddio... mi sono accorto adesso del pasticcio che ho fatto con le formule... vabbè..
beh, io intendo:
(a,b) * (c,d) = (a*c, b*d)
dove il * è la moltiplicazione in R.
beh, io intendo:
(a,b) * (c,d) = (a*c, b*d)
dove il * è la moltiplicazione in R.
"Hop Frog":
oddio... mi sono accorto adesso del pasticcio che ho fatto con le formule... vabbè..
beh, io intendo:
(a,b) * (c,d) = (a*c, b*d)
dove il * è la moltiplicazione in R.
No, tranquillo, nessun casino con le formule.
Comunque è proprio qui il punto: quella lì (la moltiplicazione per componenti) non è la stessa operazione che fai quando moltiplichi due numeri complessi.
Pensaci: come fai a moltiplicare $(a+ib)(c+id)$?
esatto, quindi definendo in questo modo l' operazione non è possibile un isomorfismo..
No, ma se definisci il prodotto di due numeri complessi così:
$(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
cioè
$(a,b)*(c,d)=(ac-bd, ad+bc)$ allora sei a posto.
P.S. Aggiungo solo che il prodotto tra due numeri complessi è definito così (in un modo se vuoi un po' strano e originale) proprio perchè si vuole che $CC$ abbia la struttura di campo.
$(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
cioè
$(a,b)*(c,d)=(ac-bd, ad+bc)$ allora sei a posto.
P.S. Aggiungo solo che il prodotto tra due numeri complessi è definito così (in un modo se vuoi un po' strano e originale) proprio perchè si vuole che $CC$ abbia la struttura di campo.
no, il prodotto tra numeri complessi mi pare definito nel modo più ovvio possibile, ovvero considerando il prodotto come prodotto tra "polinomi" (detta brutalmente) e che i*i=-1.
Piuttosto bisogna definire in modo analogo (e più artificioso) il prodotto in R2, ovvero come hai detto tu..
Piuttosto bisogna definire in modo analogo (e più artificioso) il prodotto in R2, ovvero come hai detto tu..
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