Risoluzione di un esercizio sui gruppi
Buonasera a tutti!
Ho un dubbio sul seguente esercizio:
Considero un gruppo abeliano $G$ ed un suo elemento $a$. Sia $G(a)$ il gruppo ciclico generato da $a$ e $G_1(a)={x inG|x^ninG(a) text{ per qualche } n>0}$. Si prova che $G_1(a)$ è un sottogruppo di $G$ contenente $G(a)$. Nel caso in cui $G=(RR,+)$ bisogna provare che se $a!=0$, $G_1(a)~=(QQ,+)$.
Nella risoluzione si dice che:
1) In questo caso $G_1(a)={x inRR|nx=ma text{ per qualche } n>0 text{ ed } ninZZ}$. Perchè?
2) Si pone $phi:G_1(a) rightarrow QQ$ definita da: $phi(x)=m/n$ dove $nx=ma$. Si prova che la legge è ben definita e che si tratta di un omomorfismo iniettivo e suriettivo. Ho dei dubbi sulla suriettività: si afferma che dato $m/ninQQ$, posto $x=a^(m/n)inRR$ si ha $phi(x)=m/n$. Non capisco come dalla posizione $x=a^(m/n)inRR$ si deduce che $phi(x)=m/n$. Potreste illustrarmi i passaggi?
Grazie.
Ho un dubbio sul seguente esercizio:
Considero un gruppo abeliano $G$ ed un suo elemento $a$. Sia $G(a)$ il gruppo ciclico generato da $a$ e $G_1(a)={x inG|x^ninG(a) text{ per qualche } n>0}$. Si prova che $G_1(a)$ è un sottogruppo di $G$ contenente $G(a)$. Nel caso in cui $G=(RR,+)$ bisogna provare che se $a!=0$, $G_1(a)~=(QQ,+)$.
Nella risoluzione si dice che:
1) In questo caso $G_1(a)={x inRR|nx=ma text{ per qualche } n>0 text{ ed } ninZZ}$. Perchè?
2) Si pone $phi:G_1(a) rightarrow QQ$ definita da: $phi(x)=m/n$ dove $nx=ma$. Si prova che la legge è ben definita e che si tratta di un omomorfismo iniettivo e suriettivo. Ho dei dubbi sulla suriettività: si afferma che dato $m/ninQQ$, posto $x=a^(m/n)inRR$ si ha $phi(x)=m/n$. Non capisco come dalla posizione $x=a^(m/n)inRR$ si deduce che $phi(x)=m/n$. Potreste illustrarmi i passaggi?
Grazie.
Risposte
[mod="Martino"]Ciao, saresti pregato di mettere un titolo più esplicativo. Grazie.[/mod]
"Andrea90":
Buonasera a tutti!
Ho un dubbio sul seguente esercizio:
Considero un gruppo abeliano $G$ ed un suo elemento $a$. Sia $G(a)$ il gruppo ciclico generato da $a$ e $G_1(a)={x inG|x^ninG(a) text{ per qualche } n>0}$. Si prova che $G_1(a)$ è un sottogruppo di $G$ contenente $G(a)$. Nel caso in cui $G=(RR,+)$ bisogna provare che se $a!=0$, $G_1(a)~=(QQ,+)$.
Nella risoluzione si dice che:
1) In questo caso $G_1(a)={x inRR|nx=ma text{ per qualche } n>0 text{ ed } ninZZ}$. Perchè?
Nel caso in cui $G=(RR,+)$, $G$ è un gruppo con la notazione additiva, pertanto $G(a)$, gruppo ciclico generato da $a$, ha la forma: $G(a)={ma; m in ZZ}$.
Si ha pertanto: $G_1(a)={x inG|x^ninG(a) text{ per qualche } n>0}={x in RR; nx in G(a) text{ per qualche } n>0}=$
$={x in RR; nx = ma text{ per qualche } n>0 , m in ZZ}$
Con questo modo di scrivere dovrebbe esserti facile anche sviluppare il secondo punto.
Ciao
Ok. Bene o male avevo sviluppato un ragionamento analogo per il primo punto. Tuttavia resta un dubbio riguardante il secondo punto. Non riesco a convincermi della scelta di $x=a^(m/n)$...
$x=a^(m/n)$ per quanto detto sopra lo scrivi nella notazione additiva e diventa $x=(m/n)a$
Ok! Tutto chiaro! Quindi l'unica questione è l'esprimere una potenza in notazione additiva...
Grazie!
Grazie!
Nel caso dell'esercizio in questione direi proprio di sì perchè era impostato nella forma generale (con le potenze per intenderci) ma poi chiedeva di applicare il tutto nel caso di $(RR,+)$ quindi di sviluppare i conti in notazione additiva. Ciao
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