Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Mi è stato proposto questo esercizio in un esame di algebra 1:
Posto $ f = x^4 + 6x^2 + 28 in ZZ[x]$, sia $ g in (ZZ // 7 ZZ )[x] $
la riduzione di f modulo 7. Sia
A=$((ZZ // 7 ZZ)[x]) / ((g)) $:
(a) Si dica se A è un dominio d'integrità.
(b) Si determinino tutti gli ideali di A.
Il punto (a) io ho provato a risolverlo così:
Ho pensato che $ ZZ // 7 ZZ $ è un campo perchè 7 è un primo quindi di conseguenza è un dominio di integrità, a questo punto anche $ ((ZZ // 7 ZZ )[x]) / ((g)) $ è dominio di integrità...
Però mi ...
Salve a tutti!
Vorrei sapere come mai $\mathbb{Z}_9$ non è un campo e $\mathbb{Z}_11$ si.
Cosa si intende per campo?
Grazie a tutti!
Ciao a tutti sono nuovo del forum. Inizio tra pochi giorni il corso di matematica all'università a Genova!
Sto scrivendo un saggio e avevo bisogno di trasformare in formula queste parole:
Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati di ciascun termine più la somma dei doppi prodotti di ciascun termine per quelli che lo seguono.
La formula che sono riuscito a tirare fuori è questa:
$ (t(1)+t(2)+...+t(n)>)^(2) = sum_(i = 1)^(n)(t(i))^(2) + sum_(i = 1)^(n-1)[sum_(k = i+1)^(n)2(t(i)*t(k))] $
Non sono riuscito a mettere i pedici così ho usato le parentesi per ...
Ciao!
Trovo spesso scritto $Z9$(9 a pedice) o con altri numeri. Mi sapete dire cosa si intende con questo simbolo?
Perchè [tex]\mathbb{Z}[/tex]9(pedice) non è un campo e [tex]\mathbb{Z}[/tex]11(pedice) lo è?
Propongo un esercizietto in teoria dei campi, per chi avesse voglia di cimentarsi.
Prove it! Sia [tex]F[/tex] un campo finito e sia [tex]K[/tex] una sua estensione finita. Dimostrare che [tex]K[/tex] è un'estensione semplice, ossia che [tex]K = F[\alpha][/tex] per qualche [tex]\alpha \in K[/tex].
[size=75]edit: aggiunta una dimenticanza. Grazie a Martino (vedi più sotto)[/size]
Buondì. Ho trovato il seguente esercizio, che riuscivo a risolvere solo in parte. Sia K campo contenente tutte le radici $n$-esime dell'unità. Poniamo [tex]E = K(t)[/tex], dove t è trascendente su K. Mostrare che il polinomio [tex]X^n-t[/tex] è irriducibile in [tex]E[X][/tex]. Sia s una radice $n$-esima di t. Mostrare che [tex]E[/tex] è un campo di spezzamento di [tex]X^n -t[/tex] e che s è trascendente su K.
Il primo punto, l'avrei svolto in questa maniera: ...
Salve, vi pongo un paio di quesiti -probabilmente anche semplici, ma tant'è...
Nell'anello $ ZZ {::}_(11) [x] $ si considerino i polinomi:
$ f(x)=x^2+3 $ e $ g(x) = x^2-3x+1 $
indicati con $ I(x) $ e $ J(x) $ gli ideali generati rispettivamente da $ f(x) $ e $ g(x) $ , si determinino l'ideale somma $ I(x)+J(x) $ e il suo generatore monico.
Quindi, dire -motivando la risposta- se sono isomorfi gli anelli:
...
Per prima cosa saluto e ringrazio (sono al primo post) gli utenti di questo utilissimo sito (già usato per l'esame di maturità).
Mi sto preparando per un esame di matematica discreta e sono incappato in una tipologia di esercizio che non riesco a capire come risolvere.
Mi viene richiesto di calcolare la cardinalità dell'insieme quoziente:
$ ZZ ^2/cc(R) $
Dove $cc(R)$ è definito come segue:
$ <(x,y)cc(R)(x',y')> hArr <(3x+5y=3x'+5y'> $
Io non ho proprio idea di come procedere per questa relazione in ...
Sia $N=C_6$ un gruppo ciclico di ordine 6.
a) Provare che $Aut(G)~=C_2$ (non so se sia il simbolo giusto...)
b) Determinare tutti gli endomorfismi di $C_2$
c) Dimostrare che tutti i prodotti semidiretti tra N e $C_2$ sono isomorfi a $C_6 X C_2$ o a $D_12$, il gruppo diedrale di ordine 12.
RISOLUZIONE
Dunque:
$C_6 = {1_C, a, a^2, a^3, a^4, a^5}=<a>$
$Aut(G)$ è il gruppo degli automorfismi di G, cioè degli isomorfismi di G in sè (primo problema: ...
Sia [tex]G[/tex] un gruppo abeliano finito che contenga un sottogruppo $H_0!=(e)$, contenuto in ogni sottogruppo $H!=(e)$.
Dimostrare che allora $G$ è ciclico . Cosa si può dire dell'ordine di $G$?
Spero che questa sia l'ultima volta che debba chiedere il vostro aiuto. Ma sono sbattuto su un'altro muro! Vi pongo l'esercizio:
Sia $G$ un gruppo abeliano $H={g^4 | g in G} (={x in G | esiste g in G con x = g^4})$ si dimostri che $H$ è un sottogruppo di $G$.
Calcolare i possibili ordini degli elementi del gruppo quoziente $G$$/$$H$.
Dare un esempio di un gruppo non abeliano nel quale l'insieme degli elementi definito sopra non è un ...
Ciao a tutti, avrei bisogno che mi deste una mano per i seguenti esercizi, alcuni si tratta solo di vedere se sono corretti:
1) Sia $ G $ l'insieme $ RR xx RR xx RR $ . Definiamo in $ G $ l'operazione
$ (a,b,c)*(x,y,z)=(a+x, b+y, ay+c+z) $
Calcolare il centro $ Z(G) $ e trovare un sottogruppo normale non banale in $ G $
Allora il centro è l'isieme degli elementi tali che $ (a,b,c)*(x,y,z)=(x,y,z)*(a,b,c) $ quindi ho che
$ (a+x, b+y, ay+c+z)=(a+x,b+y,xb+z+c) $ ovvero $ xb=ay $
che per ...
Ragazzi, ho bisogno che mi troviate una soluzione per questa equazione a soli numeri interi:
$ x^m + y^m = n $ con n numero primo
m>2, n>2
Spero che questa sezione del forum sia quella appropriata.
In elaborazione numerica dei segnali si considerano le sequenze che sono funzioni definite sugli interi a valori reali o complessi. Risulta molto importante la convoluzione $z$ di due sequenze
$x$ e $y$ definita da $ z(n) := sum_(k = -oo)^(oo) x(k) y(n-k) $ . Ora questa definizione dice che ogni volta che si fa una convoluzione bisogna fare un limite, no? (Se sbaglio fatemelo presente). In molti casi però le ...
Ciao. Si sa che el gruppo simmetrico Sn gli r-cicli sono in mumero $ (1 / r ) * ((n! ) / ((n-r)!)) $ . Ma c'è anche una formula per contare i prodotti di cicli? Ad esempio in S4, tramite la formula precedente, so che esistono $ 6 $ 2-cicli; so anche che esistono 3 permutazioni fomati da prodotti di 2-cicli. Ma con quale formula posso arrivare a dire questo? Grazie.
Sia G un gruppo finito, H sottogruppo normale di G, K sottogruppo di G. E' sempre vero che [tex]H \rtimes K[/tex] (quando questo è sottogruppo) è normale in G? (con [tex]\rtimes[/tex] intendo il prodotto semidiretto di $H$ con $K$).
Se no, è sempre vero che, dato un gruppo J di ordine 231, e dati il suo 7-Sylow e un suo 3-Sylow, il gruppo formato dal prodotto semidiretto dei due Sylow scelti è normale in J?
Soprattutto, sapete dirmi se facendo così si stravolge la ...
Esiste un gruppo di ordine $3 \times 11^3$ che non sia abeliano (i.e. il cui 3-Sylow non sia unico)?
Ciao a tutti, avrei bisogno che qualcuno mi spiegasse bene come risolvere gli esercizi con la formula di Burnside...io ho provato a cimentarmi con i seguenti tre esercizi ma con scarsi risultati...
1)Si determini il numero di posizioni diverse in cui si possono disporre 4 chiavi di colori diversi in un portachiavi circolare
2)in quanti modi distinti si possono colorare le 6 facce di un cubo usando 6 colori, se ogni facca deve avere un colore diverso e si consierano equivalenti due ...
Sia $G=Sym_4$
a) Mostrare che $V=<(12)(34), (13)(24)>$ è un sottogruppo normale di G
(Poi ci sarebbero altri punti, ma tanto sono già in alto mare qui...)
Il problema è che, a livello teorico, capisco le definizioni e i teoremi, ma al momento di metterli in pratica mi incasino, mi sfugge il quadro generale, mi confondo le varie notazioni.
Nell'esercizio postato:
- $Sym_4$ è il gruppo delle permutazioni di 4 oggetti, e ha se non erro cardinalità $4!$ (Con i ...
Scusate in anticipo se sto postando nella sezione sbagliata, ma non so dove altro chiedere.
Avrei bisogno di qualche anima pia che possa farmi capire come fare a risolvere determinati quiz di logica (sicuramente banali, ma che per qualche stupido motivo non riesco a risolvere).
Mi riferisco a questo genere:
"Dipingiamo le 4 facce di un tetraedro regolare con quattro colori diversi (rosso, bianco, giallo, azzurro). Quanti diversi tetraedri possiamo ottenere? (Si considerino uguali due ...
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