Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Salve a tutti, ho codesto esercizio da risolvere che mi crea non pochi problemi, anche perchè non so da che parte iniziare. --- Sia $G$ un gruppo abeliano. Si definisca $a \sim b$ sta per $ EE g in G $ tale che $a=g^{3}b$. Si dimostri che $\sim$ è una relazione di equivalenza su $G$. Si determini la classe di equivalenza di 1. E' possibile affermare che $\sim$ è una congruenza su $G$? Se si, calcolare i ...

Questo è un esercizio che mi viene proposto. Sia $ X:= Z x Z $ e si consideri la funzione $ f : X -> X $ così definita : $AA$$(x,y)$$in$$X$ $(x,y)f :=$ $ (y,2) $ se y e' dispari, $(y , x)$ se y altrimenti Mi occorre la dimostrazione usando la definizione dell'iniettività, ovvero quella per cui a immagini uguali corrispondono controimmagini uguali e seguita da una dimostrazione con sistema, ma il ...

Il mio ripasso è giunto ai numeri complessi. Mi viene un dubbio: se i non ha segno e $ sqrt(-1)=i $ se l'indice della radice è maggiore (ma sempre pari) cosa succede? $ n>1 $ $ root(2n)(-1) $ dovrebbe essere uguale a $ pm root((2n-2))(i) $ ?? ma se i non ha segno che senso ha mettere più o meno davanti alla radice di un'identità senza segno?

Ciao, mi potete dire se le risposte di questo esercizio, da me date, sono corrette? Grazie Sia $ D={n in NN: n|2880 } $ l'insieme dei divisori positivi di 2880. determinare: 1) Il numero degli elementi di D; 2) Il numero degli elementi di D che sono numeri pari; 3) Il numero degli elementi di D che sono multipli di 21; 4) Il numero degli elementi di D che sono quadrati. Risposte 1) 25; 2) 20; 3) non ce ne sono; 4) 20.

Giorno a tutti. Torno di nuovo a chiedere il vostro aiuto dato che non riesco a venire a capo di alcuni esercizi che riguardando in generale le relazioni d'ordine. Direi di andare subito al testo dell'esercizio. "Sia S la relazione definita in $RR$ nel mondo seguente: $ xRy $ se $ x - y $ $in$ $ZZ$. a) Verificare che R è una relazione d'equivalenza. b) Trovare la classe di 1. c) Trovare un insieme di rappresentanti per le classi ...

Un saluto a tutti quelli che leggeranno, sono nuovo in questo forum. Sono impegnato sullo studio di Matematica Discreta di cui ho l'esame tra qualche giorno, e un argomento dello scritto tratta del calcolo dei polinomi minimi, l'unico argomento esercitativo che non mi è chiaro assolutamente. Ad esempio, determinare il polinomio minimo su Q di : $ sqrt(3 + sqrt(11)) $ $ sqrt(2)* i + sqrt(5) $ $ sqrt(5)* i + sqrt(2) $ Grazie per l'aiuto

Mi è stato proposto questo esercizio in un esame di algebra 1: Posto $ f = x^4 + 6x^2 + 28 in ZZ[x]$, sia $ g in (ZZ // 7 ZZ )[x] $ la riduzione di f modulo 7. Sia A=$((ZZ // 7 ZZ)[x]) / ((g)) $: (a) Si dica se A è un dominio d'integrità. (b) Si determinino tutti gli ideali di A. Il punto (a) io ho provato a risolverlo così: Ho pensato che $ ZZ // 7 ZZ $ è un campo perchè 7 è un primo quindi di conseguenza è un dominio di integrità, a questo punto anche $ ((ZZ // 7 ZZ )[x]) / ((g)) $ è dominio di integrità... Però mi ...

Salve a tutti! Vorrei sapere come mai $\mathbb{Z}_9$ non è un campo e $\mathbb{Z}_11$ si. Cosa si intende per campo? Grazie a tutti!

Ciao a tutti sono nuovo del forum. Inizio tra pochi giorni il corso di matematica all'università a Genova! Sto scrivendo un saggio e avevo bisogno di trasformare in formula queste parole: Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati di ciascun termine più la somma dei doppi prodotti di ciascun termine per quelli che lo seguono. La formula che sono riuscito a tirare fuori è questa: $ (t(1)+t(2)+...+t(n)>)^(2) = sum_(i = 1)^(n)(t(i))^(2) + sum_(i = 1)^(n-1)[sum_(k = i+1)^(n)2(t(i)*t(k))] $ Non sono riuscito a mettere i pedici così ho usato le parentesi per ...

Ciao! Trovo spesso scritto $Z9$(9 a pedice) o con altri numeri. Mi sapete dire cosa si intende con questo simbolo? Perchè [tex]\mathbb{Z}[/tex]9(pedice) non è un campo e [tex]\mathbb{Z}[/tex]11(pedice) lo è?

Propongo un esercizietto in teoria dei campi, per chi avesse voglia di cimentarsi. Prove it! Sia [tex]F[/tex] un campo finito e sia [tex]K[/tex] una sua estensione finita. Dimostrare che [tex]K[/tex] è un'estensione semplice, ossia che [tex]K = F[\alpha][/tex] per qualche [tex]\alpha \in K[/tex]. [size=75]edit: aggiunta una dimenticanza. Grazie a Martino (vedi più sotto)[/size]

Buondì. Ho trovato il seguente esercizio, che riuscivo a risolvere solo in parte. Sia K campo contenente tutte le radici $n$-esime dell'unità. Poniamo [tex]E = K(t)[/tex], dove t è trascendente su K. Mostrare che il polinomio [tex]X^n-t[/tex] è irriducibile in [tex]E[X][/tex]. Sia s una radice $n$-esima di t. Mostrare che [tex]E[/tex] è un campo di spezzamento di [tex]X^n -t[/tex] e che s è trascendente su K. Il primo punto, l'avrei svolto in questa maniera: ...

Salve, vi pongo un paio di quesiti -probabilmente anche semplici, ma tant'è... Nell'anello $ ZZ {::}_(11) [x] $ si considerino i polinomi: $ f(x)=x^2+3 $ e $ g(x) = x^2-3x+1 $ indicati con $ I(x) $ e $ J(x) $ gli ideali generati rispettivamente da $ f(x) $ e $ g(x) $ , si determinino l'ideale somma $ I(x)+J(x) $ e il suo generatore monico. Quindi, dire -motivando la risposta- se sono isomorfi gli anelli: ...

Per prima cosa saluto e ringrazio (sono al primo post) gli utenti di questo utilissimo sito (già usato per l'esame di maturità). Mi sto preparando per un esame di matematica discreta e sono incappato in una tipologia di esercizio che non riesco a capire come risolvere. Mi viene richiesto di calcolare la cardinalità dell'insieme quoziente: $ ZZ ^2/cc(R) $ Dove $cc(R)$ è definito come segue: $ <(x,y)cc(R)(x',y')> hArr <(3x+5y=3x'+5y'> $ Io non ho proprio idea di come procedere per questa relazione in ...

Sia $N=C_6$ un gruppo ciclico di ordine 6. a) Provare che $Aut(G)~=C_2$ (non so se sia il simbolo giusto...) b) Determinare tutti gli endomorfismi di $C_2$ c) Dimostrare che tutti i prodotti semidiretti tra N e $C_2$ sono isomorfi a $C_6 X C_2$ o a $D_12$, il gruppo diedrale di ordine 12. RISOLUZIONE Dunque: $C_6 = {1_C, a, a^2, a^3, a^4, a^5}=<a>$ $Aut(G)$ è il gruppo degli automorfismi di G, cioè degli isomorfismi di G in sè (primo problema: ...

Sia [tex]G[/tex] un gruppo abeliano finito che contenga un sottogruppo $H_0!=(e)$, contenuto in ogni sottogruppo $H!=(e)$. Dimostrare che allora $G$ è ciclico . Cosa si può dire dell'ordine di $G$?

Spero che questa sia l'ultima volta che debba chiedere il vostro aiuto. Ma sono sbattuto su un'altro muro! Vi pongo l'esercizio: Sia $G$ un gruppo abeliano $H={g^4 | g in G} (={x in G | esiste g in G con x = g^4})$ si dimostri che $H$ è un sottogruppo di $G$. Calcolare i possibili ordini degli elementi del gruppo quoziente $G$$/$$H$. Dare un esempio di un gruppo non abeliano nel quale l'insieme degli elementi definito sopra non è un ...

Ciao a tutti, avrei bisogno che mi deste una mano per i seguenti esercizi, alcuni si tratta solo di vedere se sono corretti: 1) Sia $ G $ l'insieme $ RR xx RR xx RR $ . Definiamo in $ G $ l'operazione $ (a,b,c)*(x,y,z)=(a+x, b+y, ay+c+z) $ Calcolare il centro $ Z(G) $ e trovare un sottogruppo normale non banale in $ G $ Allora il centro è l'isieme degli elementi tali che $ (a,b,c)*(x,y,z)=(x,y,z)*(a,b,c) $ quindi ho che $ (a+x, b+y, ay+c+z)=(a+x,b+y,xb+z+c) $ ovvero $ xb=ay $ che per ...

Ragazzi, ho bisogno che mi troviate una soluzione per questa equazione a soli numeri interi: $ x^m + y^m = n $ con n numero primo m>2, n>2

Spero che questa sezione del forum sia quella appropriata. In elaborazione numerica dei segnali si considerano le sequenze che sono funzioni definite sugli interi a valori reali o complessi. Risulta molto importante la convoluzione $z$ di due sequenze $x$ e $y$ definita da $ z(n) := sum_(k = -oo)^(oo) x(k) y(n-k) $ . Ora questa definizione dice che ogni volta che si fa una convoluzione bisogna fare un limite, no? (Se sbaglio fatemelo presente). In molti casi però le ...