Sottogruppo normale di un gruppo simmetrico
Sia $G=Sym_4$
a) Mostrare che $V=<(12)(34), (13)(24)>$ è un sottogruppo normale di G
(Poi ci sarebbero altri punti, ma tanto sono già in alto mare qui...)
Il problema è che, a livello teorico, capisco le definizioni e i teoremi, ma al momento di metterli in pratica mi incasino, mi sfugge il quadro generale, mi confondo le varie notazioni.
Nell'esercizio postato:
- $Sym_4$ è il gruppo delle permutazioni di 4 oggetti, e ha se non erro cardinalità $4!$ (Con i gruppi simmetrici ho già fatto impazzire il povero j18eos in un altro post: proprio mi mandano in confusione)
-per dimostrare che V è sottogruppo normale, devo dimostrare innanzitutto che è un sottogurppo, poi che i suoi laterali destri e sinistri coincidono, cioè $AA g in G, gV=vG$ (oppure potrei usare una delle definizioni equivalenti)
-$V$ mi sembra il sottogruppo generato da $(12)(34)$ e $(13)(24)$ ma non capisco come sia fatto...Non riesco a visualizzarlo.
$(12)(34)$ è un prodotto di cicli, che opera così
$(1234) rarr (2143)$
Analogamente mi sembra che $(13)(24)$ operi così
$(1234) rarr (3412)$
Ma non ne sono sicura...e poi come faccio a vedere come è fatto V?
Mi potete aiutare?
Grazie in anticipo.
Buon pomeriggio
a) Mostrare che $V=<(12)(34), (13)(24)>$ è un sottogruppo normale di G
(Poi ci sarebbero altri punti, ma tanto sono già in alto mare qui...)
Il problema è che, a livello teorico, capisco le definizioni e i teoremi, ma al momento di metterli in pratica mi incasino, mi sfugge il quadro generale, mi confondo le varie notazioni.
Nell'esercizio postato:
- $Sym_4$ è il gruppo delle permutazioni di 4 oggetti, e ha se non erro cardinalità $4!$ (Con i gruppi simmetrici ho già fatto impazzire il povero j18eos in un altro post: proprio mi mandano in confusione)
-per dimostrare che V è sottogruppo normale, devo dimostrare innanzitutto che è un sottogurppo, poi che i suoi laterali destri e sinistri coincidono, cioè $AA g in G, gV=vG$ (oppure potrei usare una delle definizioni equivalenti)
-$V$ mi sembra il sottogruppo generato da $(12)(34)$ e $(13)(24)$ ma non capisco come sia fatto...Non riesco a visualizzarlo.
$(12)(34)$ è un prodotto di cicli, che opera così
$(1234) rarr (2143)$
Analogamente mi sembra che $(13)(24)$ operi così
$(1234) rarr (3412)$
Ma non ne sono sicura...e poi come faccio a vedere come è fatto V?
Mi potete aiutare?
Grazie in anticipo.
Buon pomeriggio
Risposte
Notizia storica: [tex]$V$[/tex] è il gruppo delle simmetrie del quadrato e Klein lo chiamò in tedesco Vierergruppe da cui la V!
Come tu hai detto non sei sicura come tu possa dimostrare che sia un gruppo (primo passo), eccoti la chiave di lettura: [tex]$(12)(34)$[/tex] è la permutazione che manda 1 in 2 e viceversa, 3 in 4 e viceversa.
Allora è [tex]$(12)(34)\cdot(13)(24)=(14)(23)$[/tex] in quanto l'1 va in 2 (primo 2-ciclo) poi il 2 va in 4 (secondo 2-ciclo),... sapresti continuare? Così almeno arriviamo alla conclusione che [tex]$V$[/tex] sia un gruppo!
Teorema: I gruppi di ordine [tex]$p^2$[/tex] con $p$ numero primo sono abeliani.
Quindi non ti devi preoccupare di ripetere il conto al contrario!
OUT OF SELF: non mi hai fatto impazzire
poiché già lo sono!
Come tu hai detto non sei sicura come tu possa dimostrare che sia un gruppo (primo passo), eccoti la chiave di lettura: [tex]$(12)(34)$[/tex] è la permutazione che manda 1 in 2 e viceversa, 3 in 4 e viceversa.
Allora è [tex]$(12)(34)\cdot(13)(24)=(14)(23)$[/tex] in quanto l'1 va in 2 (primo 2-ciclo) poi il 2 va in 4 (secondo 2-ciclo),... sapresti continuare? Così almeno arriviamo alla conclusione che [tex]$V$[/tex] sia un gruppo!
Teorema: I gruppi di ordine [tex]$p^2$[/tex] con $p$ numero primo sono abeliani.
Quindi non ti devi preoccupare di ripetere il conto al contrario!
OUT OF SELF: non mi hai fatto impazzire
poiché già lo sono!
"j18eos":
Notizia storica: [tex]$V$[/tex] è il gruppo delle simmetrie del quadrato e Klein lo chiamò in tedesco Vierergruppe da cui la V!
Come tu hai detto non sei sicura come tu possa dimostrare che sia un gruppo (primo passo), eccoti la chiave di lettura: [tex]$(12)(34)$[/tex] è la permutazione che manda 1 in 2 e viceversa, 3 in 4 e viceversa.
Allora è [tex]$(12)(34)\cdot(13)(24)=(14)(23)$[/tex] in quanto l'1 va in 2 (primo 2-ciclo) poi il 2 va in 4 (secondo 2-ciclo),... sapresti continuare? Così almeno arriviamo alla conclusione che [tex]$V$[/tex] sia un gruppo!
Teorema: I gruppi di ordine [tex]$p^2$[/tex] con $p$ numero primo sono abeliani.
Quindi non ti devi preoccupare di ripetere il conto al contrario!
OUT OF SELF: non mi hai fatto impazzire
Ave, mio salvatore!!
Dunque:
nel primo 2-ciclo 2 va in 1; nel secondo 1 va in 3 quindi 2 va in 3.
E da qui cosa ricavo esattamente?
Ma poi non ho capito: è un sottogruppo generato da due sottorguppi di G o no? Da com'era scritto mi sembrava di sì, ma non ci giurerei. E poi...quali sono gli elementi di V? Quanti sono?
Insomma, ho capito che non passerò mai quest'esame...
Grazie per la pazienza, again
Ed il 3 ed il 4 in chi vanno? Vedi eppoi evinci che per costruzione [tex]$(14)(23)\in V$[/tex], verifica che la sua composizione con le altre 2 permutazioni\generatori è in [tex]$V$[/tex], utilizzi il teorema che ho riportato ed hai il primo asserto!
Anche io avevo capito che non avrei mai superato algebra lineare ma poi cambiando la docente ho capito che il problema non è in me! Non disperare, ti deve ancora bocciare il docente ma sicuramente con l'impegno ti promuoverà!
Anche io avevo capito che non avrei mai superato algebra lineare ma poi cambiando la docente ho capito che il problema non è in me!
Non disperare, ti deve ancora bocciare il docente ma sicuramente con l'impegno ti promuoverà!
"j18eos":
Ed il 3 ed il 4 in chi vanno? Vedi eppoi evinci che per costruzione [tex]$(14)(23)\in V$[/tex], verifica che la sua composizione con le altre 2 permutazioni\generatori è in [tex]$V$[/tex], utilizzi il teorema che ho riportato ed hai il primo asserto!
Il 3 va in 4 e il 4 in 2 $rarr$ il 3 va in 2
Il 4 va in in 3, il 3 va in 1 $rarr$ il 4 va in 1
cioè $(32)(41)$
Sono gli stessi cicli trovati prima, solo scritti diversi...
Perchè $(14)(23) in V$ per costruzione?
Anche io avevo capito che non avrei mai superato algebra lineare ma poi cambiando la docente ho capito che il problema non è in me!
Ci spero...anche perchè tutti gli altri esami li ho superati senza drammi: certo, non è sempre facile, ci vogliono ore di studio, impegno eccetera.
Però quando studiavo le altre materie man mano mi rendevo conto di fare progressi; qui invece più mi sforzo più mi sembra di peggiorare
Mi sembra di essere sempre allo stesso dannato punto!
Ho provato con gli appunti presi a lezione e gli esercizi risolti in aula, ma niente da fare; ho provato con due libri, dispense e tutto. L'unico risultato è che mi sento sempre più tonta.
E' frustrante!
Ma conosci la definizione di sottogruppo generato da un sottoinsieme di un gruppo?
"j18eos":
Ma conosci la definizione di sottogruppo generato da un sottoinsieme di un gruppo?
E' l'insieme degli elementi del gruppo che si ottengono come prodotti di elementi del sottogruppo o dei loro inversi (mamma mia, è detto maluccio...).
Provo a scriverla:
$
In effetti direi che mi ero confusa con il sottogruppo generato da sottogruppi: in pratica avevo erroneamente considerato $(12)(34)$ e $(13)(24)$ come due sottogruppi e non come un sottoinsieme.
Quindi in pratica, prima ho fatto la moltiplicazione
$(12)(34)*(13)(24)$
Ora devo fare anche
$(13)(24) * (12)(34)= (14)(23)$?
Rileggendo bene il testo hai così che [tex]$\{\iota_4;\,(1\,2)(3\,4);\,(1\,3)(2\,4);\,(1\,4)(2\,3)\}\subseteq V=\big<(1\,2)(3\,4);\,(1\,3)(2\,4)\big>$[/tex]; inoltre [tex]$V$[/tex] è un sottogruppo proprio di [tex]$A_4$[/tex] (gruppo alterno di grado 4).
Da tutto ciò [tex]$V$[/tex] è un gruppo di ordine 4(*), il suo sostegno l'ho già scritto; il teorema da me citato sui gruppi di ordine [tex]$p^2$[/tex] (con [tex]$p$[/tex] numero primo) conferma ulteriormente che quell'insieme è il sostegno di [tex]$V$[/tex] però con l'informazione che è un gruppo abeliano.
§§§
(*) Non esiste un sottogruppo di ordine 6 in [tex]$A_4$[/tex].
Da tutto ciò [tex]$V$[/tex] è un gruppo di ordine 4(*), il suo sostegno l'ho già scritto; il teorema da me citato sui gruppi di ordine [tex]$p^2$[/tex] (con [tex]$p$[/tex] numero primo) conferma ulteriormente che quell'insieme è il sostegno di [tex]$V$[/tex] però con l'informazione che è un gruppo abeliano.
§§§
(*) Non esiste un sottogruppo di ordine 6 in [tex]$A_4$[/tex].
"j18eos":
Rileggendo bene il testo hai così che [tex]$\{\iota_4;\,(1\,2)(3\,4);\,(1\,3)(2\,4);\,(1\,4)(2\,3)\}\subseteq V=\big<(1\,2)(3\,4);\,(1\,3)(2\,4)\big>$[/tex]; inoltre [tex]$V$[/tex] è un sottogruppo proprio di [tex]$A_4$[/tex] (gruppo alterno di grado 4).
Da tutto ciò [tex]$V$[/tex] è un gruppo di ordine 4(*), il suo sostegno l'ho già scritto; il teorema da me citato sui gruppi di ordine [tex]$p^2$[/tex] (con [tex]$p$[/tex] numero primo) conferma ulteriormente che quell'insieme è il sostegno di [tex]$V$[/tex] però con l'informazione che è un gruppo abeliano.
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(*) Non esiste un sottogruppo di ordine 6 in [tex]$A_4$[/tex].
Prima domanda: perchè
[tex]$\{\iota_4;\,(1\,2)(3\,4);\,(1\,3)(2\,4);\,(1\,4)(2\,3)\}\subseteq V=\big<(1\,2)(3\,4);\,(1\,3)(2\,4)\big>$[/tex] e non
[tex]$\{\iota_4;\,(1\,2)(3\,4);\,(1\,3)(2\,4);\,(1\,4)(2\,3)\}=\ V=\big<(1\,2)(3\,4);\,(1\,3)(2\,4)\big>$[/tex] ?
Ora potrei applicare il teorema che dice che oni sottogruppo do un gruppo abeliano è normale, ma otterrei solo che
[tex]$\{\iota_4;\,(1\,2)(3\,4);\,(1\,3)(2\,4);\,(1\,4)(2\,3)\}[/tex] è sottogruppo normale di V,, a me interessa che V sia sottogruppo normale di G...
Sai solo che quelli sono elementi di [tex]$V$[/tex] poi concludi che sono gli unici suoi elementi come ho postato!
OUT OF SELF: Hai riportato tutti i miei "§", è meglio se modifichi diminuendoli; per migliore visualità!
OUT OF SELF: Hai riportato tutti i miei "§", è meglio se modifichi diminuendoli; per migliore visualità!
Ora non potrei applicare il teorema che dice che un sottogruppo è normale se e solo se assieme ad un eleemtno contiene anche tutti i suoi coniugati?
Cioè, scelgo uno degli elementi di V, per esempio $(13)(24)$ e provo a coniugarlo con tutti gli altri elementi di G (o di V?)...
Può funzionare?
Grazie mille ancora
Cioè, scelgo uno degli elementi di V, per esempio $(13)(24)$ e provo a coniugarlo con tutti gli altri elementi di G (o di V?)...
Può funzionare?
Grazie mille ancora
Preferisco dapprima richiamare una definizione di sottogruppo [tex]$N$[/tex] normale in un gruppo [tex]$G$[/tex] (c'è né sono altre, ma lasciamo stare): tale [tex]$N$[/tex] sarebbe normale in [tex]$G$[/tex] sse (se e solo se) [tex]$\forall g\in G;\,h\in N,\,h^g=g^{-1}hg\in N$[/tex], ovvero, le classi di coniugio in [tex]$G$[/tex] degli elementi di [tex]$N$[/tex] sono sottoinsiemi di [tex]$N$[/tex].
Ricordandoti come sono fatte le classi di coniugio di una permutazione di un insieme finito nel relativo gruppo simmetrico hai banalmente l'asserto!
Prego, di nulla!
Ricordandoti come sono fatte le classi di coniugio di una permutazione di un insieme finito nel relativo gruppo simmetrico hai banalmente l'asserto!
Prego, di nulla!
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