Convoluzione discreta / Prodotto di Cauchy
Spero che questa sezione del forum sia quella appropriata.
In elaborazione numerica dei segnali si considerano le sequenze che sono funzioni definite sugli interi a valori reali o complessi. Risulta molto importante la convoluzione $z$ di due sequenze
$x$ e $y$ definita da $ z(n) := sum_(k = -oo)^(oo) x(k) y(n-k) $ . Ora questa definizione dice che ogni volta che si fa una convoluzione bisogna fare un limite, no? (Se sbaglio fatemelo presente). In molti casi però le sequenze sono non nulle solo per gli interi in un certo intervallo e il calcolo si semplifica. Ora, come faccio dalla definizione a liberarmi del limite e arrivare in questi casi a un'espressione per il calcolo dei valori di $z$ che abbia solo una somma ordinaria? Per esempio se $x(n) = 0$ e $y(n) = 0$ per $n<0$ il valore della convoluzione è, per gli $n>=0$ il prodotto di Cauchy (questo dice la Wikipedia inglese, se non è errata, alla voce convolution, §Discrete convolution) cioè $z(n) = sum_(k = 0)^(n) x(k) y(n-k)$. Come si passa dalla definizione e dal crisma del limite (Esiste? No? Esiste con l'ipotesi pinco pallino?) a una somma ordinaria? Non è che c'è un qualche ragionamento che si può fare per riportarsi nel caso in cui le sequenze siano non nulle solo in un certo intervallo di interi a una somma ordinaria?
Utenti scatenatevi e grazie.
In elaborazione numerica dei segnali si considerano le sequenze che sono funzioni definite sugli interi a valori reali o complessi. Risulta molto importante la convoluzione $z$ di due sequenze
$x$ e $y$ definita da $ z(n) := sum_(k = -oo)^(oo) x(k) y(n-k) $ . Ora questa definizione dice che ogni volta che si fa una convoluzione bisogna fare un limite, no? (Se sbaglio fatemelo presente). In molti casi però le sequenze sono non nulle solo per gli interi in un certo intervallo e il calcolo si semplifica. Ora, come faccio dalla definizione a liberarmi del limite e arrivare in questi casi a un'espressione per il calcolo dei valori di $z$ che abbia solo una somma ordinaria? Per esempio se $x(n) = 0$ e $y(n) = 0$ per $n<0$ il valore della convoluzione è, per gli $n>=0$ il prodotto di Cauchy (questo dice la Wikipedia inglese, se non è errata, alla voce convolution, §Discrete convolution) cioè $z(n) = sum_(k = 0)^(n) x(k) y(n-k)$. Come si passa dalla definizione e dal crisma del limite (Esiste? No? Esiste con l'ipotesi pinco pallino?) a una somma ordinaria? Non è che c'è un qualche ragionamento che si può fare per riportarsi nel caso in cui le sequenze siano non nulle solo in un certo intervallo di interi a una somma ordinaria?
Utenti scatenatevi e grazie.
Risposte
Beh, se [tex]$x(n),y(n) = 0$[/tex] per [tex]$n<0$[/tex], allora:
[tex]$x(k)=0$[/tex] per [tex]$k<0$[/tex],
[tex]$y(n-k)=0$[/tex] per [tex]$n-k<0$[/tex] ossia per [tex]$k>n$[/tex]
(ricorda, [tex]$n$[/tex] è fissato); ergo spezzettando la sommatoria:
[tex]$z(n):=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(k)\ y(n-k)=\left( \sum_{k=-\infty}^{-1} +\sum_{k=0}^n +\sum_{k=n+1}^{+\infty}\right) x(k)\ y(n-k) $[/tex]
[tex]$=\sum_{k=-\infty}^{-1} 0\ y(n-k)+\sum_{k=0}^n x(k)\ y(n-k)+\sum_{k=n+1}^{+\infty} x(k)\ 0$[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^n x(k)\ y(n-k)$[/tex]
ed ecco spiegato il mistero.
Una piccola nota: la convoluzione di due successioni bilatere è ben definita se le due successioni sono in [tex]$\ell^1 (\mathbb{Z})$[/tex].
[tex]$x(k)=0$[/tex] per [tex]$k<0$[/tex],
[tex]$y(n-k)=0$[/tex] per [tex]$n-k<0$[/tex] ossia per [tex]$k>n$[/tex]
(ricorda, [tex]$n$[/tex] è fissato); ergo spezzettando la sommatoria:
[tex]$z(n):=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(k)\ y(n-k)=\left( \sum_{k=-\infty}^{-1} +\sum_{k=0}^n +\sum_{k=n+1}^{+\infty}\right) x(k)\ y(n-k) $[/tex]
[tex]$=\sum_{k=-\infty}^{-1} 0\ y(n-k)+\sum_{k=0}^n x(k)\ y(n-k)+\sum_{k=n+1}^{+\infty} x(k)\ 0$[/tex]
[tex]$=\sum_{k=0}^n x(k)\ y(n-k)$[/tex]
ed ecco spiegato il mistero.
Una piccola nota: la convoluzione di due successioni bilatere è ben definita se le due successioni sono in [tex]$\ell^1 (\mathbb{Z})$[/tex].
Sempre sperando nella gentile disponibilità di qualcuno. Volevo chiedere ancora qualcosa:
$l^1(Z)$ è lo spazio delle successioni ${a(k)}_(k=-oo)^(oo)$ (bilatere) con $sum_(k=-oo)^(oo)|a(k)| < oo$?
Convoluzione ben definita vuol dire che è un numero (e non $oo$)?
Perché puoi spezzare la serie in 3? C'è un teorema che dice $sum a_n , sum b_n$ convergenti rispett. a $A$ e $B$ -> $sum (alpha a_n + beta b_n)$ converge e converge a $alphaA+betaB$ con $alpha , beta in C$, ma il contrario non vale, no? Per es. $a(n) = b(n) = e^n, sum a(n) = sum b(n)$ non convergono sicuramente perché $a(n)$ o $b(n)$ non tendono a zero per $n->+oo$ però con $alpha = 1$ e $beta = -1$ $sum (alpha a(n) + beta (b(n))$ converge e vale $0$.
E un'altra cosa, scusatemi, ma data la mia preparazione preferisco chiedere piuttosto che dare per buono: i simboli di somma sommati fra parentesi e poi un termine generico di una somma fuori dalla parentesi sono un modo simbolico per scrivere somma1 di termine generico + somma2 dello stesso termine generico + somma3 dello stesso termine generico?
Grazie ancora.
$l^1(Z)$ è lo spazio delle successioni ${a(k)}_(k=-oo)^(oo)$ (bilatere) con $sum_(k=-oo)^(oo)|a(k)| < oo$?
Convoluzione ben definita vuol dire che è un numero (e non $oo$)?
Perché puoi spezzare la serie in 3? C'è un teorema che dice $sum a_n , sum b_n$ convergenti rispett. a $A$ e $B$ -> $sum (alpha a_n + beta b_n)$ converge e converge a $alphaA+betaB$ con $alpha , beta in C$, ma il contrario non vale, no? Per es. $a(n) = b(n) = e^n, sum a(n) = sum b(n)$ non convergono sicuramente perché $a(n)$ o $b(n)$ non tendono a zero per $n->+oo$ però con $alpha = 1$ e $beta = -1$ $sum (alpha a(n) + beta (b(n))$ converge e vale $0$.
E un'altra cosa, scusatemi, ma data la mia preparazione preferisco chiedere piuttosto che dare per buono: i simboli di somma sommati fra parentesi e poi un termine generico di una somma fuori dalla parentesi sono un modo simbolico per scrivere somma1 di termine generico + somma2 dello stesso termine generico + somma3 dello stesso termine generico?
Grazie ancora.
"Lorra":
Volevo chiedere ancora qualcosa:
$l^1(Z)$ è lo spazio delle successioni ${a(k)}_(k=-oo)^(oo)$ (bilatere) con $sum_(k=-oo)^(oo)|a(k)| < oo$?
Convoluzione ben definita vuol dire che è un numero (e non $oo$)?
[tex]$2\times \text{Sì}$[/tex].
"Lorra":
Perché puoi spezzare la serie in 3? C'è un teorema che dice $sum a_n , sum b_n$ convergenti rispett. a $A$ e $B$ -> $sum (alpha a_n + beta b_n)$ converge e converge a $alphaA+betaB$ con $alpha , beta in C$, ma il contrario non vale, no? Per es. $a(n) = b(n) = e^n, sum a(n) = sum b(n)$ non convergono sicuramente perché $a(n)$ o $b(n)$ non tendono a zero per $n->+oo$ però con $alpha = 1$ e $beta = -1$ $sum (alpha a(n) + beta (b(n))$ converge e vale $0$.
Posso spezzare perchè l'ipotesi [tex]$a=(a_n),b=(b_n)\in \ell^1(\mathbb{Z})$[/tex] e la disuguaglianza di Young, cioè [tex]$\lVert a*b\rVert_1 \leq \lVert a\rVert_1\ \lVert b\rVert_1$[/tex], mi assicurano che le serie bilatere che definiscono le "coordinate" della convoluzione [tex]$z(n)$[/tex] convergono assolutamente e quindi incondizionatamente: ciò significa che posso fare tutte le operazioni che voglio con quelle somme (spezzarle, commutare un numero infinito di addendi, sommare come voglio, ...) ed i risultati non cambiano.
Nei tuoi controesempi manca la convergenza assoluta delle serie [tex]$\sum a_n, \sum b_n$[/tex], perciò questo trucco non funziona.
"Lorra":
E un'altra cosa, scusatemi, ma data la mia preparazione preferisco chiedere piuttosto che dare per buono: i simboli di somma sommati fra parentesi e poi un termine generico di una somma fuori dalla parentesi sono un modo simbolico per scrivere somma1 di termine generico + somma2 dello stesso termine generico + somma3 dello stesso termine generico?
Sisì... Non è usato moltissimo, ma è sintetico e mi è sembrato opportuno usarlo per risparmiare caratteri.
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