Stabilire gli ideali di un anello quoziente...
Mi è stato proposto questo esercizio in un esame di algebra 1:
Posto $ f = x^4 + 6x^2 + 28 in ZZ[x]$, sia $ g in (ZZ // 7 ZZ )[x] $
la riduzione di f modulo 7. Sia
A=$((ZZ // 7 ZZ)[x]) / ((g)) $:
(a) Si dica se A è un dominio d'integrità.
(b) Si determinino tutti gli ideali di A.
Il punto (a) io ho provato a risolverlo così:
Ho pensato che $ ZZ // 7 ZZ $ è un campo perchè 7 è un primo quindi di conseguenza è un dominio di integrità, a questo punto anche $ ((ZZ // 7 ZZ )[x]) / ((g)) $ è dominio di integrità...
Però mi sembra troppo semplice e comunque non riesco a risolvere il punto b, mi potreste dare una manoper favore, grazie mille in anticipo ciao a tutti
Posto $ f = x^4 + 6x^2 + 28 in ZZ[x]$, sia $ g in (ZZ // 7 ZZ )[x] $
la riduzione di f modulo 7. Sia
A=$((ZZ // 7 ZZ)[x]) / ((g)) $:
(a) Si dica se A è un dominio d'integrità.
(b) Si determinino tutti gli ideali di A.
Il punto (a) io ho provato a risolverlo così:
Ho pensato che $ ZZ // 7 ZZ $ è un campo perchè 7 è un primo quindi di conseguenza è un dominio di integrità, a questo punto anche $ ((ZZ // 7 ZZ )[x]) / ((g)) $ è dominio di integrità...
Però mi sembra troppo semplice e comunque non riesco a risolvere il punto b, mi potreste dare una manoper favore, grazie mille in anticipo ciao a tutti
Risposte
Sì: [tex]$\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_7$[/tex] è un campo, in particolare un dominio d'integrità unitario e quindi lo è anche [tex]$\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_7[x]$[/tex]; in particolare esso è un anello commutativo per cui: gli unici suoi anelli quoziente che siano domini d'integrità sono quelli determinati dai suoi ideali primi.
Devi dimostrare che [tex]$(g)$[/tex] sia un ideale primo!
Devi dimostrare che [tex]$(g)$[/tex] sia un ideale primo!
Ma g è un polinomio riducibile in $ (ZZ//7 ZZ)[x] $ quindi non può essere primo di conseguenza nemmeno l'ideale da esso generato può essere primo giusto?
Sì, in quanto [tex]$\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_7[x]=\mathbb{Z}_7[x]$[/tex] è un anello principale!
ok, grazie mille!!
Il primo punto adesso mi è chiaro ma il punto (b), k era quello che mi metteva più in difficoltà come può essere svolto? Mi sai dare una mano per favore...?
Grazie mille lo stesso!!!
Il primo punto adesso mi è chiaro ma il punto (b), k era quello che mi metteva più in difficoltà come può essere svolto? Mi sai dare una mano per favore...?
Grazie mille lo stesso!!!
a) Prego di nulla!
b) Devi determinare gli ideali di [tex]\mathbb{Z}_7[x][/tex] che contengono [tex]$(g)$[/tex] e quozientarli rispetto a [tex]$(g)$[/tex].
b) Devi determinare gli ideali di [tex]\mathbb{Z}_7[x][/tex] che contengono [tex]$(g)$[/tex] e quozientarli rispetto a [tex]$(g)$[/tex].
si, il problema è k non capisco, dato un anello come stabilire i suoi ideali, nonostante conosca alla perfezione la definizione di ideale di un anello ( presi 2 elementi $ in I $ ideale di A anello, la loro differenza deve appartenere ancora ad I, e per ogni n $ in I $ e x $ in A $ allora $ n*x in I $ però questo lo posso verificare avendo dato l'ideale ma determinare gli ideali di un anello dato così dal nulla non ne sono capace, e nemmeno nelle dispense ho trovato un modo per farlo ti prego puoi aiutarmi per favore...
Non c'è bisogno di pregarmi.
Un ideale di [tex]$\mathbb{Z}_7[x]$[/tex] che contenga [tex]$(g)$[/tex] vuol dire anzitutto che contiene [tex]$g$[/tex] quindi; ricordando ancora che [tex]$\mathbb{Z}_7[x]$[/tex] è un anello principale, basta considerare gl'ideali generati dai polinomi [tex]$h$[/tex] tali che [tex]$g$[/tex] sia un divisore di [tex]$h$[/tex]. Ovviamente ci sono un'infinità di tali polinomi per cui più di annotarlo non puoi fare nulla più!
Un ideale di [tex]$\mathbb{Z}_7[x]$[/tex] che contenga [tex]$(g)$[/tex] vuol dire anzitutto che contiene [tex]$g$[/tex] quindi; ricordando ancora che [tex]$\mathbb{Z}_7[x]$[/tex] è un anello principale, basta considerare gl'ideali generati dai polinomi [tex]$h$[/tex] tali che [tex]$g$[/tex] sia un divisore di [tex]$h$[/tex]. Ovviamente ci sono un'infinità di tali polinomi per cui più di annotarlo non puoi fare nulla più!
ok, grazie mille...scusa ma avevo assolutamente bisogno della tua risposta....tra poco ho l'esame....:@:@:@
adesso ho capito come risolvere questo esercizio, praticamente se ho capito bene visto che è un anello quoziente, quozientato con (g) tutti gli ideali di esso sono i polinomi $in ZZ// 7ZZ$ che possono essere divisi dal polinomio g....però a questo punto mi chiedevo se ci fosse un metodo generale per determinare gli ideali di un anello dato (al di fuori di questo esercizio).
ciao e grazie ancora!!!:):)
adesso ho capito come risolvere questo esercizio, praticamente se ho capito bene visto che è un anello quoziente, quozientato con (g) tutti gli ideali di esso sono i polinomi $in ZZ// 7ZZ$ che possono essere divisi dal polinomio g....però a questo punto mi chiedevo se ci fosse un metodo generale per determinare gli ideali di un anello dato (al di fuori di questo esercizio).
ciao e grazie ancora!!!:):)
Prego, di nulla! 
Per quanto riguarda un metodo generale non lo conosco; utilizzando la teoria a seconda delle ipotesi puoi trovare il metodo ad hoc.
Buon esame!
Per quanto riguarda un metodo generale non lo conosco; utilizzando la teoria a seconda delle ipotesi puoi trovare il metodo ad hoc.
Buon esame!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo