Esercizi da risolvere con la formula di Burnside
Ciao a tutti, avrei bisogno che qualcuno mi spiegasse bene come risolvere gli esercizi con la formula di Burnside...io ho provato a cimentarmi con i seguenti tre esercizi ma con scarsi risultati... 
1)Si determini il numero di posizioni diverse in cui si possono disporre 4 chiavi di colori diversi in un portachiavi circolare
2)in quanti modi distinti si possono colorare le 6 facce di un cubo usando 6 colori, se ogni facca deve avere un colore diverso e si consierano equivalenti due colorazioni quando si passa da una all'altra con una rotazione del cubo
3)In quanti modi si possono colorare i lati di un quadrato usando 4 colori, ammettendo che più lati abbiano lo stesso colore e identificando due colorazioni quando si passa da una all'altra con una simmetria del quadrato...
Il primo dovrebbe essere facile ma non mi viene...
io avevo pensato di considerare il gruppo diedrale $ D4 $ che ha 8 elementi...poichè le chiavi sono tutte di colore diverso avevo supposto che l'identità fissasse tutte e 8 le configurazioni mentre tutte le rotazioni e le simmetrie non ne fissassero nessuna però evidentemente sto sbagliando...dov'è l'errore?
per il secondo buio completo....
per il terzo ho pensato che anche in questo caso si deve considerare il gruppo diedrale $ D4 $ e poi bisogna distinguere 4 casi in base a quanti colori vengono utilizzati per coorare i lati del quadrato...
se tutti il lati sono dello stesso colore c'è una sola configurazione possibile...
se invece vengono impiegati due colori allora si può presentare il caso in cui ci sono tre lati di un colore e uno di un altro oppure due lati di un colore e due di un altro.solo non mi chiaro come calcolare $ |Xg| $ cioè il numero di configurazioni fissate...
Mi potreste aiutare? Ho l'esame giovedi!!!
Grazie mille in anticipo....
1)Si determini il numero di posizioni diverse in cui si possono disporre 4 chiavi di colori diversi in un portachiavi circolare
2)in quanti modi distinti si possono colorare le 6 facce di un cubo usando 6 colori, se ogni facca deve avere un colore diverso e si consierano equivalenti due colorazioni quando si passa da una all'altra con una rotazione del cubo
3)In quanti modi si possono colorare i lati di un quadrato usando 4 colori, ammettendo che più lati abbiano lo stesso colore e identificando due colorazioni quando si passa da una all'altra con una simmetria del quadrato...
Il primo dovrebbe essere facile ma non mi viene...
io avevo pensato di considerare il gruppo diedrale $ D4 $ che ha 8 elementi...poichè le chiavi sono tutte di colore diverso avevo supposto che l'identità fissasse tutte e 8 le configurazioni mentre tutte le rotazioni e le simmetrie non ne fissassero nessuna però evidentemente sto sbagliando...dov'è l'errore?
per il secondo buio completo....
per il terzo ho pensato che anche in questo caso si deve considerare il gruppo diedrale $ D4 $ e poi bisogna distinguere 4 casi in base a quanti colori vengono utilizzati per coorare i lati del quadrato...
se tutti il lati sono dello stesso colore c'è una sola configurazione possibile...
se invece vengono impiegati due colori allora si può presentare il caso in cui ci sono tre lati di un colore e uno di un altro oppure due lati di un colore e due di un altro.solo non mi chiaro come calcolare $ |Xg| $ cioè il numero di configurazioni fissate...
Mi potreste aiutare? Ho l'esame giovedi!!!
Grazie mille in anticipo....
Risposte
Dimmi se ti ritrovi...
1) il gruppo che agisce è $D_4$, l'insieme è quello formato dalle liste di quattro chiavi. Solo l'identità qualche elemento (in effetti, tutti), le altre trasformazioni non fissano alcun elemento. Perciò avresti $|G| \times |X/G| = 4!$, dove $4!$ è il numero di elementi nel tuo insieme (qui $|X/G|$ è il numero delle orbite). per cui $|X/G|= 3$.
2) il gruppo che agisce è quello delle rotazioni che rispettano un cubo, ed ha 24 elementi. L'insieme è quello delle liste di 6 colori. Siccome coloriamo con colori sempre tutti diversi, nessuna di queste (che non sia banale) fissa qualche elemento. Allora è come prima: $|G| \times |X/G| = 6! \Rightarrow |X/G|= 30$.
3) infine, il gruppo che agisce è il gruppo di Klein ($V_4$). Esso ha quattro elementi, ed agisce sull'insieme fatto dalle liste di 4 colori dei lati del quadrato. Esaminiamo i casi:
l'identità fissa tutti i $4^4$ elementi;
la simmetria rispetto all'asse verticale fissa 4^3 elementi, poiché l'unica condizione ulteriore è che i due lati orizzontali siano dello stesso colore;
la simmetria rispetto all'asse orizzontale fissa, allo stesso modo, 4^3 elementi;
la simmetria rispetto al centro del quadrato fissa 4^2 elementi, poiché la condizione è che lati opposti siano colorati alla stessa maniera.
Abbiamo quindi: $|G| \times |X/G| = 4^4+2 \times 4^3 + 4^2 \Rightarrow |X/G| = 4^3+2 \times 4^2 + 4$.
1) il gruppo che agisce è $D_4$, l'insieme è quello formato dalle liste di quattro chiavi. Solo l'identità qualche elemento (in effetti, tutti), le altre trasformazioni non fissano alcun elemento. Perciò avresti $|G| \times |X/G| = 4!$, dove $4!$ è il numero di elementi nel tuo insieme (qui $|X/G|$ è il numero delle orbite). per cui $|X/G|= 3$.
2) il gruppo che agisce è quello delle rotazioni che rispettano un cubo, ed ha 24 elementi. L'insieme è quello delle liste di 6 colori. Siccome coloriamo con colori sempre tutti diversi, nessuna di queste (che non sia banale) fissa qualche elemento. Allora è come prima: $|G| \times |X/G| = 6! \Rightarrow |X/G|= 30$.
3) infine, il gruppo che agisce è il gruppo di Klein ($V_4$). Esso ha quattro elementi, ed agisce sull'insieme fatto dalle liste di 4 colori dei lati del quadrato. Esaminiamo i casi:
l'identità fissa tutti i $4^4$ elementi;
la simmetria rispetto all'asse verticale fissa 4^3 elementi, poiché l'unica condizione ulteriore è che i due lati orizzontali siano dello stesso colore;
la simmetria rispetto all'asse orizzontale fissa, allo stesso modo, 4^3 elementi;
la simmetria rispetto al centro del quadrato fissa 4^2 elementi, poiché la condizione è che lati opposti siano colorati alla stessa maniera.
Abbiamo quindi: $|G| \times |X/G| = 4^4+2 \times 4^3 + 4^2 \Rightarrow |X/G| = 4^3+2 \times 4^2 + 4$.
Ciao, innanzi tutto grazie per la risposta 
Non mi è chiarissima la formula che hai usato, ovvero $ |G| xx |X/G| $ ... perchè io conosco un'altra formula, ovvero
$ s= 1/|G|sum_(g in G ) |Xg| $
con s che è il numero di orbite e Xg il numero di configurazioni fissate...
poi il gruppo di Klein non è quello relativo ad un rettangolo? Mentre qui si tratta di un quadrato...
Non mi è chiarissima la formula che hai usato, ovvero $ |G| xx |X/G| $ ... perchè io conosco un'altra formula, ovvero
$ s= 1/|G|sum_(g in G ) |Xg| $
con s che è il numero di orbite e Xg il numero di configurazioni fissate...
poi il gruppo di Klein non è quello relativo ad un rettangolo? Mentre qui si tratta di un quadrato...
Se poni [tex]|X/G|=s[/tex] ottieni la tua formula... non ho mai esplicitato la sommatoria a secondo membro. Per l'altro punto, è vero, mi sono ristretto a considerare le simmetrie assiali verticale e orizzontale e le loro composizioni. Prova a seguire lo stesso procedimento utilizzando, invece che [tex]V_4[/tex], [tex]D_4[/tex].
ok, ora la formula mi torna 
per il punto 1 tutto chiaro...per il punto 2 solo non mi è chiaro perchè sono 24 gli elementi...
e poi per il punto 3 ho qualche difficoltà a procedere perchè anche sostituendo D4 a V4 non so bene come tenere conto del fatto che non è detto che i colori dei lati siano tutti diversi...
per il punto 1 tutto chiaro...per il punto 2 solo non mi è chiaro perchè sono 24 gli elementi...
e poi per il punto 3 ho qualche difficoltà a procedere perchè anche sostituendo D4 a V4 non so bene come tenere conto del fatto che non è detto che i colori dei lati siano tutti diversi...
Allora... gli elementi sono 24 perché ci sono:
1) un'identità;
2) $3 \times 3$ rotazioni (di 90, 180 e 270 gradi) con asse perpendicolare ad una faccia;
3) 6 rotazioni (di 180 gradi) con asse passante per i punti medi di due spigoli opposti;
4) $2 \times 4$ rotazioni (di 120, 240 gradi) con asse passante per vertici opposti.
Per l'ultimo punto, invece, il discorso resta tale per gli elementi già esaminati. Ne abbiamo ancora 4.
1) la rotazione antioraria di 90 gradi attorno al centro. Abbiamo 4^2 elementi rispettati.
2) la rotazione antioraria di 270 gradi attorno al centro. Abbiamo ancora 4^2 elementi rispettati.
3) infine abbiamo 2 simmetrie rispetto alle diagonali, le quali rispettano ciascuna 4^2 elementi.
In totale, avremo [tex]s=(4^4+2 \times 4^3+ 5 \times 4^2)/8[/tex]. Dimmi se quadra
1) un'identità;
2) $3 \times 3$ rotazioni (di 90, 180 e 270 gradi) con asse perpendicolare ad una faccia;
3) 6 rotazioni (di 180 gradi) con asse passante per i punti medi di due spigoli opposti;
4) $2 \times 4$ rotazioni (di 120, 240 gradi) con asse passante per vertici opposti.
Per l'ultimo punto, invece, il discorso resta tale per gli elementi già esaminati. Ne abbiamo ancora 4.
1) la rotazione antioraria di 90 gradi attorno al centro. Abbiamo 4^2 elementi rispettati.
2) la rotazione antioraria di 270 gradi attorno al centro. Abbiamo ancora 4^2 elementi rispettati.
3) infine abbiamo 2 simmetrie rispetto alle diagonali, le quali rispettano ciascuna 4^2 elementi.
In totale, avremo [tex]s=(4^4+2 \times 4^3+ 5 \times 4^2)/8[/tex]. Dimmi se quadra
ok, ora è chiaro anche il punto 2
per il punto 3 non mi sono chiare un paio di cose ancora
perchè le simmetrie considerate fissano ciascuna 4^2 elementi? non avevamo detto che sul quadrato agisce D4 che è composto da 8 elementi e quindi non dovrebbero essere 8 gli elementi fissati?mi sfugge qualcosa...
per il punto 3 non mi sono chiare un paio di cose ancora
perchè le simmetrie considerate fissano ciascuna 4^2 elementi? non avevamo detto che sul quadrato agisce D4 che è composto da 8 elementi e quindi non dovrebbero essere 8 gli elementi fissati?mi sfugge qualcosa...
Per "elementi fissati" io intendo elementi (dell'insieme sul quale il gruppo agisce) la cui immagine rimane uguale dopo avere applicato una certa trasformazione appartenente al gruppo. Il punto è che noi dobbiamo trovare, per ogni elemento del gruppo, il numero di tali elementi dell'insieme.
Ad esempio, facciamo finta che l'insieme che noi consideriamo è quello dei "quadrati i cui lati sono colorati, ad uno ad uno, di un qualche colore scelto fra quattro possibili, con ripetizioni", e che il gruppo scelto è quello delle isometrie che rispettano il quadrato. Consideriamo, ad esempio, la simmetria rispetto ad una diagonale (diciamo quella che va da in basso a sinistra a in alto a destra). A partire dal lato inferiore, in maniera antioraria, siano A, B, C, D i colori dei lati. Dopo la simmetria, A viene mandato in D, e viceversa, e B viene mandato in C, e viceversa. Dunque, affinché l'immagine del quadrato colorato tramite tale traformazione sia uguale a quanto avevamo all'inizio, deve essere A =D e B =C, il che significa che possiamo scegliere solo due colori indipendentemente, il che ci dà $4^2$ possibilità. Allo stesso modo si fanno le altre, prova a farle tu
Ad esempio, facciamo finta che l'insieme che noi consideriamo è quello dei "quadrati i cui lati sono colorati, ad uno ad uno, di un qualche colore scelto fra quattro possibili, con ripetizioni", e che il gruppo scelto è quello delle isometrie che rispettano il quadrato. Consideriamo, ad esempio, la simmetria rispetto ad una diagonale (diciamo quella che va da in basso a sinistra a in alto a destra). A partire dal lato inferiore, in maniera antioraria, siano A, B, C, D i colori dei lati. Dopo la simmetria, A viene mandato in D, e viceversa, e B viene mandato in C, e viceversa. Dunque, affinché l'immagine del quadrato colorato tramite tale traformazione sia uguale a quanto avevamo all'inizio, deve essere A =D e B =C, il che significa che possiamo scegliere solo due colori indipendentemente, il che ci dà $4^2$ possibilità. Allo stesso modo si fanno le altre, prova a farle tu
Ah, ora mi è chiaro! quindi l'identità fissa 4^4 elementi perchè si possono scegliere tutti i colori indipendentemente e ad esempio la simmetria rispetto all'asse orizzontale fissa 4^3 elementi poichè è solo necessario che i due lati verticali siano dello stesso colore...e così via...
grazie mille per l'aiuto e la pazienza!
grazie mille per l'aiuto e la pazienza!
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