Legittimo dubbio sulle permutazioni
Il mio ormai amico Herstein propone il seguente esercizio:
Date le permutazioni $x = (12)(34)$ e $y=(56)(13)$
Trovare una permuazione $a$ tale che $a^-1xa = y$
Bene, dopo vari tentativi sono riuscito a trovare un modo per costruire passo passo, indice dopo indice, la permutazione $a$.
Trattasi di $a = (253)(546)$
Infatti $(564)(235)(12)(34)(253)(546) = (13)(56) = (56)(13)$
Il mio dubbio è questo:
Nonostante non mi sia dato ancora sapere che due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica (fatto che mi consolava perchè almeno ero sicuro che questo $a$ prima o poi sarebbe uscito fuori :D ), comunque mi chiedo se è mai possibile che per trovare l' $a$ in questione che "coniuga" x ad y si debbano concepire soltanto metodi BRUTALI ovvero a tentativi oppure esiste qualche risultato che mi dica quantomeno dove andarlo a cercare..insomma una restrizione...un lemma..
Tutto ciò ammettendo la possibilità che il libro mi abbia fatto sudare ora per poi darmi il metodo...
Attendo opinioni.
Grazie mille!
Date le permutazioni $x = (12)(34)$ e $y=(56)(13)$
Trovare una permuazione $a$ tale che $a^-1xa = y$
Bene, dopo vari tentativi sono riuscito a trovare un modo per costruire passo passo, indice dopo indice, la permutazione $a$.
Trattasi di $a = (253)(546)$
Infatti $(564)(235)(12)(34)(253)(546) = (13)(56) = (56)(13)$
Il mio dubbio è questo:
Nonostante non mi sia dato ancora sapere che due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa struttura ciclica (fatto che mi consolava perchè almeno ero sicuro che questo $a$ prima o poi sarebbe uscito fuori :D ), comunque mi chiedo se è mai possibile che per trovare l' $a$ in questione che "coniuga" x ad y si debbano concepire soltanto metodi BRUTALI ovvero a tentativi oppure esiste qualche risultato che mi dica quantomeno dove andarlo a cercare..insomma una restrizione...un lemma..
Tutto ciò ammettendo la possibilità che il libro mi abbia fatto sudare ora per poi darmi il metodo...
Attendo opinioni.
Grazie mille!
Risposte
ti conviene scrivere [tex]$a$[/tex] in cicli disgiunti, il 5 si ripete.
secondo me c'è un errore: infatti il [tex]$5$[/tex] viene lasciato fisso dalla permutazione di destra, mentre va nel [tex]$6$[/tex] in quella a sinistra.
forse hai sbagliato a scrivere [tex]$a $[/tex] ?
comunque a me pare che un metodo più o meno ci sia, diciamo che si fa un po' con le mani, ma dovrebbe andare.
secondo me c'è un errore: infatti il [tex]$5$[/tex] viene lasciato fisso dalla permutazione di destra, mentre va nel [tex]$6$[/tex] in quella a sinistra.
forse hai sbagliato a scrivere [tex]$a $[/tex] ?
comunque a me pare che un metodo più o meno ci sia, diciamo che si fa un po' con le mani, ma dovrebbe andare.
A me sembra corretto il "conto" in quanto "verifica".
Mi spaventa l'assoluta "manovalanza" occorsa per trovare questa $a$
Bah..indagherò!
Mi spaventa l'assoluta "manovalanza" occorsa per trovare questa $a$
Bah..indagherò!
"wide87":
$(564)(235)(12)(34)(253)(546) = (13)(56) = (56)(13)$
prendi la permutazione a sinistra nell' equazione:
se leggi le permutazioni da sinistra a destra: il $5$ va nel $6$, che va nel $5$.
se leggi le permutazioni da destra a sinistra: il $5$ va nel $4$ che va nel $3$ che va nel $5$.
quindi il $5$ rimane fisso, perciò non sono uguali.
è sbagliato. comunque come le leggi, l' Herstein fa da destra a sinistra no?
Anche se a priori nell'esercizio 'non lo potresti usare' il teorema è valido.
Due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno lo stesso tipo ciclico. Quel teorema ti dovrebbe anche indicare come cambia la permutazione sotto coniugio.
Date infatti $\alpha$ e $\pi$ due permutazioni dove $\alpha$ si esplicita con la scrittura:
$\alpha = ((1 \ \ \ 2 \ \ \... \ \ \ n), (b_1 \ \ \ b_2 \ \ \ ... \ \ \ b_n))$
mi sembra che si dimostri (non sono sicuro, comunque la verifica è abbastanza semplice, è solo noioso fare il conto) che:
$ \pi ^{-1} \alpha \pi = ((1 \ \ \ 2 \ \ \ \ \ ... \ \ \ n), ((b_1)\pi \ \ (b_2)\pi \ \ ... \ \ (b_n)\pi))$
Nella scrittura potrebbero esserci delle ambiguità a seconda di come sei abituato a comporre le permutazioni (se da destra o da sinistra).
In ogni caso, utilizzando questo risultato, è facile trovare la permutazione da usare per passare da una forma all'altra. Una volta trovata, si dimostra con una verifica che è effettivamente corretta.
Due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno lo stesso tipo ciclico. Quel teorema ti dovrebbe anche indicare come cambia la permutazione sotto coniugio.
Date infatti $\alpha$ e $\pi$ due permutazioni dove $\alpha$ si esplicita con la scrittura:
$\alpha = ((1 \ \ \ 2 \ \ \... \ \ \ n), (b_1 \ \ \ b_2 \ \ \ ... \ \ \ b_n))$
mi sembra che si dimostri (non sono sicuro, comunque la verifica è abbastanza semplice, è solo noioso fare il conto) che:
$ \pi ^{-1} \alpha \pi = ((1 \ \ \ 2 \ \ \ \ \ ... \ \ \ n), ((b_1)\pi \ \ (b_2)\pi \ \ ... \ \ (b_n)\pi))$
Nella scrittura potrebbero esserci delle ambiguità a seconda di come sei abituato a comporre le permutazioni (se da destra o da sinistra).
In ogni caso, utilizzando questo risultato, è facile trovare la permutazione da usare per passare da una forma all'altra. Una volta trovata, si dimostra con una verifica che è effettivamente corretta.
sì quello è il metodo che si usa, a cui accennavo prima.
tra l'altro nel caso specifico, con questo meetodo si trova che la soluzione all'esercizio che hai proposto, wide87, è [tex]$a= (253)(46)$[/tex] che è molto simile a quella che hai postato, magari hai fatto solo un errore di trascrizione?
@Pappappero. usi la notazione "contraria" tipo [tex]$(b_1)\pi$[/tex] per le funzioni? che coraggio!
tra l'altro nel caso specifico, con questo meetodo si trova che la soluzione all'esercizio che hai proposto, wide87, è [tex]$a= (253)(46)$[/tex] che è molto simile a quella che hai postato, magari hai fatto solo un errore di trascrizione?
@Pappappero. usi la notazione "contraria" tipo [tex]$(b_1)\pi$[/tex] per le funzioni? che coraggio!
La uso al contrario solo quando si parla di permutazioni perché capita di dover fare tante, tante composizioni e comporre da destra è molto più comodo che comporre da sinistra.
In altri contesti sono favorevolissimo alla notazione 'canonica': $f(x)$
In altri contesti sono favorevolissimo alla notazione 'canonica': $f(x)$
per: blackbishop13
Leggo da destra a sinistra e nel tuo conto che smentisce il mio risultato ti dimentichi che dopo essere tornato in sé stesso, il 5 viene rimandato in 6 alla fine.
Questo fraintendimento secondo me è figlio del fatto che la mia permutazione non è espressa in cicli disgiunti, ma funziona anche se la scrivo in cicli disgiunti.
per: Pappapero, beh... ti sono vicino.. è ineffetti parecchio inusuale adoperare, ad esempio per gli automorfismi, le scritture (per le immagini) $xT$ anzichè il buon vecchio $T(x)$ ...però agevola molti conti :)
Leggo da destra a sinistra e nel tuo conto che smentisce il mio risultato ti dimentichi che dopo essere tornato in sé stesso, il 5 viene rimandato in 6 alla fine.
Questo fraintendimento secondo me è figlio del fatto che la mia permutazione non è espressa in cicli disgiunti, ma funziona anche se la scrivo in cicli disgiunti.
per: Pappapero, beh... ti sono vicino.. è ineffetti parecchio inusuale adoperare, ad esempio per gli automorfismi, le scritture (per le immagini) $xT$ anzichè il buon vecchio $T(x)$ ...però agevola molti conti :)
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