Teorema di Wilson

[chester92]

Eccomi di nuovo qui a chiedervi aiuto per un altro famoso teorema della teoria dei numeri.
L'enunciato è

Un numero p è primo [tex]\leftrightarrow[/tex] [tex](p-1)! \equiv -1 \mod{p}[/tex]

e mi trovo in difficoltà con l'implicazione [tex]\leftarrow[/tex] , questa dovrebbe fare più o meno così:

Supponiamo per assurdo che p non sia primo, questo implica che esiste un divisore di p, chiamiamolo d, [tex]>1[/tex] e [tex]< p[/tex].
Questo d dividerà la quantità [tex](p-1)![/tex], poi siccome sappiamo per ipotesi che [tex](p-1)!+1=hp[/tex], ovvero che p divide [tex](p-1)!-1[/tex], per la transitività anche d dividerà tale quantità.
d inoltre dividerà anche le combinazioni lineari di queste 2 quantità, quindi anche [tex](p-1)!+1 - (p-1)! = 1[/tex], quindi [tex]d < 1[/tex] , contro l'ipotesi che [tex]d>1[/tex], e siamo arrivati a un assurdo: p è primo.

Quello che non capisco è la parte sottolineata, sarò un po' lento io ma perché d dividerebbe (p-1)! ? Capirei se fosse p!, visto che nel prodotto fattoriale sarebbe compreso anche p, ma così non me lo spiego...

[blackbishop13]

da quali numeri è composto [tex]$(p-1) !$[/tex] ?

è il prodotto di tutti i numeri compresi tra [tex]$1$[/tex] e [tex]$p-1$[/tex]

quindi tutti i numeri in questo intervallo lo divideranno, e tra questi ce n'è uno particolare, giusto?

[chester92]

Wa hai ragione, che stupido!XD
Grazie mille!

[gundamrx91-votailprof]

"blackbishop13":da quali numeri è composto [tex]$(p-1) !$[/tex] ?

è il prodotto di tutti i numeri compresi tra [tex]$1$[/tex] e [tex]$p-1$[/tex]

quindi tutti i numeri in questo intervallo lo divideranno, e tra questi ce n'è uno particolare, giusto?

black scusa, ma non ho capito a quale numero "particolare" ti riferisci....

[blackbishop13]

Prego!

@Gundam
quello che nella dimostrazione è indicato con [tex]$d$[/tex], che poi è l'unico di cui ci interessiamo.

[gundamrx91-votailprof]

c'e' qualcosa che mi sfugge... proprio come hai scritto, ogni numero dell'intervallo tra $1$ e $p-1$ divide $p-1!$ a prescindere che $p$ sia un numero primo oppure no,
quindi in pratica posso prenderne uno qualsiasi e dire che e' il mio $d$, o sbaglio?

[itpareid]

da quello che ho capito io, se $p$ è non primo, $d|p ->d|(p-1)!$ in quanto $d$ essendo maggiore di $1$ e minore di $p$ sarà uno dei termini di $(p-1)!$

[itpareid]

$d$ deve essere un divisore di $p$, parti da qui per dire che è anche divisore di $(p-1)!$

[gundamrx91-votailprof]

dunque, se $p$ non e' primo, ad esempio $6$, i divisori di $6$ sono $2$ e $3$, che dividono anche $(p-1)!$, infatti $(6-1)! =120$ e $2|120$ e $3|120$;
se $p$ e' primo, ad esempio $7$, i suoi divisori sono $p$ stesso, cioe' $7$, e $1$, ma tra questi due solo $1$ divide $(7-1)! =720$, quindi $d$ dovrebbe
essere il numero $1$, che ovviamente divide qualsiasi numero.... Dov'e' che mi perdo???

[itpareid]

nella dimostrazione $d>1$ e $d

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[gundamrx91-votailprof]

Forse non c'e' un vero problema.... quel ragionamento, per assurdo, serve a dimostrare che $p$ e' un numero primo, infatti usando sempre quella dimostrazione
in cui si pone la condizione che $1

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