Criteri di divisibilità
Ciao, ho dei dubbi riguardo un esercizio di aritmetica modulare che sto cercando di svolgere.
Come da titolo si deve dedurre un criterio di divisibilità per 8
Riordinando un pò le idee, ripropongo il ragionamento che ho seguito. Si dovrebbe procedere sfruttando il sistema di numerazione decimale-posizionale per cui dato un generico numero $k = X_1X_2X_3...X_s$ con $X_i$ cifre alla base del sistema decimale (da 0-9), è possibile scrivere il numero come $k = [ X_1*10^(s-1) + X_2 * 10^(s-2) + ... + X_(s-1)*10 + X_s ]$
Partendo da quest'idea si può scrivere $k=[ X_1*10^(s-1) + X_2 * 10^(s-2) + ... + X_(s-1)*10 + X_s ] = [X_1*10^(s-2) + X_2*10^(s-3) + ... + X_(s-1)] * [10] + X_s = ([X_1]*[10]^(s-2) + [X_2]*[10]^(s-3)+...+[X_(s-1)])*[10] + [X_s].
Ora, in $Z_8$ poichè $[10]=[2]$, il criterio diventa:
$k = ([X_1]*[2]^(s-2) + [X_2]*[2]^(s-3)+...+[X_(s-1)])*[2] + [X_s]$
Nell'applicarlo è anche possibile, se è presente, sostituire gli 8 con 0 (perchè 8 è congruo a 0 modulo 8), e i 9 con 1 (perchè 9 è congruo a 1 modulo 8).
Se $k|8$ allora il numero sarà divisibile per 8.
Facendo alcune prove fin'ora il criterio ha funzionato, per esempio su due casi di cui uno non divisibile e l'altro divisibile per 8 non ci sono state contraddizioni:
Per
$k = 54324$ con $s=5$
$k = ([5]*[2]^3 + [4]*[2]^2 + [3]*[2]^1 + [2])*[2] + [4] = [40+16+6+2]*[2] + [4] = [68]$
$68|8$ non è vera, per cui $k$ non è divisibile per 8.
Per
$k = 4216$ con $s=4$
$k = ([4]*[2]^2 + [2]*[2]^1 + [1])*[2] + [6] = [16+4+1]*[2] + [6] = [48]$
$48|8$ è vera, per cui, in questo caso, $k$ è divisibile per 8.
La prima domanda è se il ragionamento è effettivamente corretto. Di fatto funziona (almeno per i tentativi che ho fatto); la mia preoccupazione è quella di non aver trovato un vero e proprio criterio di divisibilità ma di aver solo "giocato" con i numeri. In tal caso quale sarebbe un impostazione più rigorosa?
Poi, avendo navigato per la rete riguardo a diversi criteri di divisibilità, ho trovato un po' ovunque la regola per cui "un numero è divisibile per 8 se le sue ultime tre cifre sono divisibili per 8". Sarà anche vero, ma non sono riuscito a trovarne una dimostrazione rigorosa, nè, coi miei mezzi, ho idea di come impostare l'esercizio in modo da far risultarla in questo modo.
Come da titolo si deve dedurre un criterio di divisibilità per 8
Riordinando un pò le idee, ripropongo il ragionamento che ho seguito. Si dovrebbe procedere sfruttando il sistema di numerazione decimale-posizionale per cui dato un generico numero $k = X_1X_2X_3...X_s$ con $X_i$ cifre alla base del sistema decimale (da 0-9), è possibile scrivere il numero come $k = [ X_1*10^(s-1) + X_2 * 10^(s-2) + ... + X_(s-1)*10 + X_s ]$
Partendo da quest'idea si può scrivere $k=[ X_1*10^(s-1) + X_2 * 10^(s-2) + ... + X_(s-1)*10 + X_s ] = [X_1*10^(s-2) + X_2*10^(s-3) + ... + X_(s-1)] * [10] + X_s = ([X_1]*[10]^(s-2) + [X_2]*[10]^(s-3)+...+[X_(s-1)])*[10] + [X_s].
Ora, in $Z_8$ poichè $[10]=[2]$, il criterio diventa:
$k = ([X_1]*[2]^(s-2) + [X_2]*[2]^(s-3)+...+[X_(s-1)])*[2] + [X_s]$
Nell'applicarlo è anche possibile, se è presente, sostituire gli 8 con 0 (perchè 8 è congruo a 0 modulo 8), e i 9 con 1 (perchè 9 è congruo a 1 modulo 8).
Se $k|8$ allora il numero sarà divisibile per 8.
Facendo alcune prove fin'ora il criterio ha funzionato, per esempio su due casi di cui uno non divisibile e l'altro divisibile per 8 non ci sono state contraddizioni:
Per
$k = 54324$ con $s=5$
$k = ([5]*[2]^3 + [4]*[2]^2 + [3]*[2]^1 + [2])*[2] + [4] = [40+16+6+2]*[2] + [4] = [68]$
$68|8$ non è vera, per cui $k$ non è divisibile per 8.
Per
$k = 4216$ con $s=4$
$k = ([4]*[2]^2 + [2]*[2]^1 + [1])*[2] + [6] = [16+4+1]*[2] + [6] = [48]$
$48|8$ è vera, per cui, in questo caso, $k$ è divisibile per 8.
La prima domanda è se il ragionamento è effettivamente corretto. Di fatto funziona (almeno per i tentativi che ho fatto); la mia preoccupazione è quella di non aver trovato un vero e proprio criterio di divisibilità ma di aver solo "giocato" con i numeri. In tal caso quale sarebbe un impostazione più rigorosa?
Poi, avendo navigato per la rete riguardo a diversi criteri di divisibilità, ho trovato un po' ovunque la regola per cui "un numero è divisibile per 8 se le sue ultime tre cifre sono divisibili per 8". Sarà anche vero, ma non sono riuscito a trovarne una dimostrazione rigorosa, nè, coi miei mezzi, ho idea di come impostare l'esercizio in modo da far risultarla in questo modo.
Risposte
Prima cosa: se vuoi scrivere che "8 divide 48" si scrive al contrario di come fai tu, ovvero [tex]$8 \mid 48$[/tex]. è la notazione standard.
Secondo: sì il tuo ragionamento è corretto ma tremendamente scomodo visto che c'è quel criterio a cui accennato, e che ora ti dimostro, visto che non è difficile. Se vuoi provare a farlo da solo non leggere, altrimenti eccotelo qui.
sia [tex]$n \in \mathbb{N}$[/tex], scriviamo [tex]$n=x_0 + x_1 \cdot 10 + x_2 \cdot 10^2+ \dots x_n \cdot 10^n$[/tex]
con [tex]$x_i \in \left\{ 0,\dots,9 \right\}$[/tex]
allora vogliamo dimostrare che [tex]$8 \mid n \Leftrightarrow 8| (x_0 + x_1 \cdot 10 + x_2 \cdot 10^2)$[/tex].
è la stessa cosa che dimostrare che [tex]$x_3 \cdot 10^3 + x_4 \cdot 10^4 + \dots x_n \cdot 10^n$[/tex] è sempre divisibile per [tex]$8$[/tex], così la divisibilità dipende solo dalle ultime cifre.
e [tex]$x_3 \cdot {(2 \cdot 5)}^3 + x_4 \cdot {(2 \cdot 5)}^4 + \dots x_n \cdot {(2 \cdot 5)}^n = 2^3 \cdot (x_3 \cdot 5^3 + x_4 \cdot 2 \cdot 5^4 + \dots x_n \cdot 2^{n-3} \cdot 5^n)$[/tex]
da cui [tex]$2^3=8$[/tex] divide quello che volevamo.
Secondo: sì il tuo ragionamento è corretto ma tremendamente scomodo visto che c'è quel criterio a cui accennato, e che ora ti dimostro, visto che non è difficile. Se vuoi provare a farlo da solo non leggere, altrimenti eccotelo qui.
sia [tex]$n \in \mathbb{N}$[/tex], scriviamo [tex]$n=x_0 + x_1 \cdot 10 + x_2 \cdot 10^2+ \dots x_n \cdot 10^n$[/tex]
con [tex]$x_i \in \left\{ 0,\dots,9 \right\}$[/tex]
allora vogliamo dimostrare che [tex]$8 \mid n \Leftrightarrow 8| (x_0 + x_1 \cdot 10 + x_2 \cdot 10^2)$[/tex].
è la stessa cosa che dimostrare che [tex]$x_3 \cdot 10^3 + x_4 \cdot 10^4 + \dots x_n \cdot 10^n$[/tex] è sempre divisibile per [tex]$8$[/tex], così la divisibilità dipende solo dalle ultime cifre.
e [tex]$x_3 \cdot {(2 \cdot 5)}^3 + x_4 \cdot {(2 \cdot 5)}^4 + \dots x_n \cdot {(2 \cdot 5)}^n = 2^3 \cdot (x_3 \cdot 5^3 + x_4 \cdot 2 \cdot 5^4 + \dots x_n \cdot 2^{n-3} \cdot 5^n)$[/tex]
da cui [tex]$2^3=8$[/tex] divide quello che volevamo.
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