Dubbio su divisibilità coefficiente binomiale
Studiando degli appunti sui triangoli di Pascal mi è capitata la seguente affermazione:
Dato $k$ non primo, sia $p$ primo divisore di $k$ tale che $k=m p^{a}$ con $m$ non divisibile per $p$
Allora si ha che $((k),(p))=frac{m p^{a} (m p^{a}-1)...(m p^{a}-p+1)}{1*2*...*p}$ non è divisibile per $p^{alpha}$ e quindi neanche per $k$.
Questa cosa mi lascia perplesso, infatti il binomiale sarebbe divisibile per $p^{alpha}$ e anche per $k=m p^{alpha}$ essendo entrambi presenti a numeratore.
Qualcuno può aiutarmi a chiarire questa cosa? probabilmente mi sfugge qualcosa...
Dato $k$ non primo, sia $p$ primo divisore di $k$ tale che $k=m p^{a}$ con $m$ non divisibile per $p$
Allora si ha che $((k),(p))=frac{m p^{a} (m p^{a}-1)...(m p^{a}-p+1)}{1*2*...*p}$ non è divisibile per $p^{alpha}$ e quindi neanche per $k$.
Questa cosa mi lascia perplesso, infatti il binomiale sarebbe divisibile per $p^{alpha}$ e anche per $k=m p^{alpha}$ essendo entrambi presenti a numeratore.
Qualcuno può aiutarmi a chiarire questa cosa? probabilmente mi sfugge qualcosa...
Risposte
[tex]$\binom{k}{p}=\frac{m p^{a} (m p^{a}-1)...(m p^{a}-p+1)}{1\cdot 2 \cdot...\cdot p}$[/tex]
diventa, siccome c'è un [tex]$p$[/tex] al denominatore
[tex]$=\frac{m p^{a-1} (m p^{a}-1)...(m p^{a}-p+1)}{1 \cdot 2 \cdot...\cdot (p-1)}$[/tex]
ti è chiaro? ancora c'è una piccola cosa da osservare per poter affermare che [tex]$p^a \nmid \binom{k}{p}$[/tex]. prova a completare tu, se riesci, se no ti dò una mano ulteriore.
P.S. non so cosa studi, ma stranamente questo conto è molto importante per dimostrare il primo teorema di Sylow (o almeno, in una delle tante dimostrazioni).
diventa, siccome c'è un [tex]$p$[/tex] al denominatore
[tex]$=\frac{m p^{a-1} (m p^{a}-1)...(m p^{a}-p+1)}{1 \cdot 2 \cdot...\cdot (p-1)}$[/tex]
ti è chiaro? ancora c'è una piccola cosa da osservare per poter affermare che [tex]$p^a \nmid \binom{k}{p}$[/tex]. prova a completare tu, se riesci, se no ti dò una mano ulteriore.
P.S. non so cosa studi, ma stranamente questo conto è molto importante per dimostrare il primo teorema di Sylow (o almeno, in una delle tante dimostrazioni).
Avevo pensato alla tua soluzione, ma non ero sicuro in quanto pensavo di poter semplificare in modo da ottenere
$\frac{(m p^{alpha}-1)...(m p^{alpha}-p+1)}{1\cdot 2\cdot ...\cdot p}$ senza accorgermi che da questo rapporto non risultava un intero.
Io studio matematica e stavo leggendo questo articolo per preparare la tesi triennale.
Sono incappato nel passaggio durante la dimostrazione del seguente teorema per i numeri primi:
Consideriamo i valori della $k$-esima riga di un triangolo di Pascal, senza i valori iniziale e finale.
Essi sono tutti divisibili per $k$ se e solo se $k$ è un numero primo.
Il primo teorema di Sylow dovrei averlo visto nel corso di Crittografia, oppure Algebra I, ma non ricordavo la dimostrazione.
Forse ne abbiamo visto solo l'enunciato in Crittografia.
Ho pensato un po' all'ulteriore condizione che dicevi ma non mi è venuto in mente nulla.
$\frac{(m p^{alpha}-1)...(m p^{alpha}-p+1)}{1\cdot 2\cdot ...\cdot p}$ senza accorgermi che da questo rapporto non risultava un intero.
Io studio matematica e stavo leggendo questo articolo per preparare la tesi triennale.
Sono incappato nel passaggio durante la dimostrazione del seguente teorema per i numeri primi:
Consideriamo i valori della $k$-esima riga di un triangolo di Pascal, senza i valori iniziale e finale.
Essi sono tutti divisibili per $k$ se e solo se $k$ è un numero primo.
Il primo teorema di Sylow dovrei averlo visto nel corso di Crittografia, oppure Algebra I, ma non ricordavo la dimostrazione.
Forse ne abbiamo visto solo l'enunciato in Crittografia.
Ho pensato un po' all'ulteriore condizione che dicevi ma non mi è venuto in mente nulla.
beh in un corso di algebra penso si facciano i teoremi di Sylow.
comunque non ho parlato di nessuna condizione ulteriore, semplicemente c'è da osservare che nei vari [tex]$(mp^a-1) \dots (mp^a-p+1)$[/tex] non può mai saltare fuori un ulteriore fattore [tex]$p$[/tex], visto che sono [tex]$p-1$[/tex] numeri consecutivi, e [tex]$p \mid mp^a$[/tex]
comunque non ho parlato di nessuna condizione ulteriore, semplicemente c'è da osservare che nei vari [tex]$(mp^a-1) \dots (mp^a-p+1)$[/tex] non può mai saltare fuori un ulteriore fattore [tex]$p$[/tex], visto che sono [tex]$p-1$[/tex] numeri consecutivi, e [tex]$p \mid mp^a$[/tex]
ok, ora è chiaro grazie!
Prego!
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