Associatività e Tabella di Cayley

[Obionekenobi1]

Dato un gruppo qualunque, per verificare che vale la proprietà associativa usando la tabella di Cayley (cioè quella di moltiplicazione) bisogna fare i conti per tutti gli elementi è c'è un modo più facile??

[vict85]

Beh, a parte l'uso improprio del termine gruppo con una struttura algebrica potenzialmente non associativa (usa magma o gruppoide http://it.wikipedia.org/wiki/Magma_%28matematica%29) ammetto che questo è una domanda a cui non ci ho mai fatto particolare attenzione. La tabella moltiplicativa esiste per qualsiasi magma.
Tu comunque ti stai chiedendo se quel gruppoide è un semigruppo.

Personalmente non mi vengono in mente altri modi al di là di testare l'associatività delle righe invece che dei singoli elementi (ma è solo un modo per fare tanti calcoli insieme).

In pratica ogni riga rappresenta un endomorfismo dell'insieme degli elementi del magma $M$ (se fosse un gruppo sarebbe un isomorfismo).

Supponiamo quindi di voler testare i prodotti $abx$ per $x$ che varia in $M$. Ora se ad $a$ e a $b$ sono associati gli endomorfismo $alpha$ e $beta$ e al prodotto $d = ab$ è associato l'endomorfismo $delta$ allora testare tutti i prodotti significa dimostrare che $alpha(beta(x)) = delta(x)$, cioè che $alpha circ beta = delta$. Il calcolo si fa come con le tabelle delle permutazioni.