Relazione di equivalenza e insieme quoziente
l'esercizio è:
l'insieme A=(a,b) $ del $ (c,d) se |ad|=|bc|. si dimostri che $ del $ è una relazione di equivalenza e si provi che l'insieme quoziente A/ $ del $ è infinito. si determini inoltre una funzione f: A $ rarr $ $ QQ $
tale che la relazione $
coincida con
l'equivalenza indotta da f.
dimostrare che è una relazione di equivalenza l'ho fatto...ma non riesco a fare gli altri due
un altro esercizio è:
si provi che f: $ QQ rarr QQ $ definita f(x)=2x+|x|+ 1 per ogni x appartentente a $ QQ $ è biettiva e se ne determini l'inversa
l'insieme A=(a,b) $ del $ (c,d) se |ad|=|bc|. si dimostri che $ del $ è una relazione di equivalenza e si provi che l'insieme quoziente A/ $ del $ è infinito. si determini inoltre una funzione f: A $ rarr $ $ QQ $
tale che la relazione $
coincida con
l'equivalenza indotta da f.
dimostrare che è una relazione di equivalenza l'ho fatto...ma non riesco a fare gli altri due
un altro esercizio è:
si provi che f: $ QQ rarr QQ $ definita f(x)=2x+|x|+ 1 per ogni x appartentente a $ QQ $ è biettiva e se ne determini l'inversa
Risposte
Ma l'insieme $A$ com'è definito? Io ho capito solo che questo è composto da coppie. Ma $a,b$ in che insieme vivono?
Se fosse un insieme finito ad esempio mi vien difficile che il quoziente sia infinito!
Se fosse un insieme finito ad esempio mi vien difficile che il quoziente sia infinito!
Concordo con mistake89, il tuo esercizio non è per niente chiaro. Che cosa è esattamente $A$? In che insiemi vivono $a, b, c$ e $d$?
Supponendo che $A$ sia uguale a $ZZ^2$, allora la mappa $f(a, b) = |a|/|b|$ sarebbe probabilmente una buona scelta per la funzione $f$ in quanto $|a|/|b| = |c|/|d|$ se e solo se $|a||d| = |b||c|$, cioè $|ad| = |bc|$. Se l'insieme $A$ fosse diverso, per esempio $QQ^2$, la mappa $f$ sarebbe probabilmente diversa.
Per il secondo esercizio, è sufficiente trovare una funzione inversa. Devi cioè esplicitare $y = 2x + |x| + 1$ nella forma $x = g(y)$ dove $g$ è una qualche funzione. E' forse più facile affrontare questo problema considerando $x$ positiva e negativa separatamente, scrivendo poi le relazioni $x >= 0$ e $x < 0$ in funzione di $y$.
Supponendo che $A$ sia uguale a $ZZ^2$, allora la mappa $f(a, b) = |a|/|b|$ sarebbe probabilmente una buona scelta per la funzione $f$ in quanto $|a|/|b| = |c|/|d|$ se e solo se $|a||d| = |b||c|$, cioè $|ad| = |bc|$. Se l'insieme $A$ fosse diverso, per esempio $QQ^2$, la mappa $f$ sarebbe probabilmente diversa.
Per il secondo esercizio, è sufficiente trovare una funzione inversa. Devi cioè esplicitare $y = 2x + |x| + 1$ nella forma $x = g(y)$ dove $g$ è una qualche funzione. E' forse più facile affrontare questo problema considerando $x$ positiva e negativa separatamente, scrivendo poi le relazioni $x >= 0$ e $x < 0$ in funzione di $y$.
scusate avete ragione solo che è la prima volta che scrivo..comunque A= ( $ ZZ x ZZ $)\ {(0,0)}
La mappa $f$ è allora quella che ti ho scritto.
va bene ma come faccio a provare che l'insieme quoziente A/ $ del $ è infinito
Per esempio mostrando che contiene un insieme infinito.
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