Disuguaglianze

[Angelo210]

Siano $m$, $n$ numeri interi positivi che soddisfano la condizione $m^2-2n^2=\pm 1$.
Dimostrare che non esistono numeri interi (positivi o negativi) $a$, $b$ tali che,

$\{(a^2-2b^2=\pm 1),(n
Ho provato a dimostrarlo, però non ci riesco.

Io vorrei provare per assurdo che $a>0$

Se fosse $a<=0$, allora certamente sarebbe $b>0$, ovvero $b>=1$, inoltre dalle disuguaglianze $n
$ n/m*(1-a)
Però da quì non riesco ad arrivare all'assurdo.

Inoltre vorrei provare che $b>0$.

E alla fine, osserverei che siccome $a$ e $b$ sono interi positivi, la disuguaglianza $a*n+b*m
Però, come potete notare, sono molto lontano dall'ottenere una dimostrazione, per questo chiedo aiuto a chi abbia idee migliori delle mie.

Grazie.

[Stickelberger]

Ti serve il gruppo moltiplicativo $ZZ[\sqrt{2}]^*$ degli elementi invertibili
dell'anello $ZZ[\sqrt{2}]$. Non e' difficile vedere che un elemento
$x+y\sqrt{2}$ di $ZZ[\sqrt{2}]$ e' invertibile se e solo se $x^2-2y^2=\pm 1$.
Sia $\epsilon=1+\sqrt{2}$. Un calcolo
standard di teoria algebrica di numeri implica questo:

TEOREMA. Il gruppo $ZZ[\sqrt{2}]^*$ e' generato da $-1$ ed $\epsilon$.

La dimostrazione non e' difficile. Bastano un paio di righe.

Se scriviamo $\epsilon^k = x_k + y_k\sqrt{2}$, allora

$y_1, y_2, y_3, y_4, ... = 1, 2, 5, 12, \ldots$

e' una successione monotona crescente di interi positivi
simile alla successione dei numeri di Fibonacci.
Si ha che $y_{k+1} = 2y_k + y_{k-1}.$

Controlli pure che gli altri elementi invertibili, cio\`e gli $\epsilon^k$
con $k<0$ e gli elementi $-\epsilon^k$ con $k\in ZZ$, hanno, a meno di segno,
gli stessi coefficienti. Non e' difficile. Pi\`u precisamente, si ha che

$ZZ[\sqrt{2}]^* = \{ \pm x_k \pm y_k\sqrt{2}: k \ge 0\}$.

Adesso arriviamo all'esercizio. Supponiamo che esistano $a,b\in ZZ$ come nell'esercizio.
Allora $u=m+n\sqrt{2}$, $u\epsilon=(m+2n)+(m+n)\sqrt{2}$ e
$u(a+b\sqrt{2})=(ma+2bn)+(an+bm)\sqrt{2}$ sono tutti e tre elementi del gruppo
$ZZ[\sqrt{2}]^*$. Questo segue dall'ipotesi che $m^2-2n^2=\pm 1$ e $a^2-2b^2=\pm 1$.


Osserviamo che $u$ ha coefficienti positivi ed ha quindi la forma
$u=\epsilon^k=x_k+y_k\sqrt{2}$ come sopra con $k$ positivo.
Abbiamo quindi che $u\epsilon=x_{k+1}+y_{k+1}\sqrt{2}$. Dal fatto che ogni elemento invertibile ha la forma $\pm x_k \pm y_k\sqrt{2}$ e dal fatto che i coefficienti $y_k$ formano una successione crescente, segue adesso che non esistono elementi invertibili della forma $x+y\sqrt{2}$
con $y_k

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