Sottogruppi normali.
Ho un problema con quest'esercizio..
Sia G gruppo. Siano H e N 2 sottogruppi normali di G.
a) Dimostrare che HN: (hn: h appartiene ad H, n appartiene ad N) è un sottogruppo di G.
b) Dimostrare che se $ H nn N = (e) $ allora hn=nh per ogni h appartenente ad H, ed ogni n appartenente ad N.
c) Dimostrare che se $ H nn N = (e) $ allora HN è isomorfo ad H*N.
allora il primo punto l'ho svolto così:
Sia a= h1n1 e sia b=h2n2 quindi HN è sottogruppo di G se $ a(b)^(-1) $ appartiene ad HN.
Quindi se $ h1n1(h2n2)^(-1) $ appartiene ad HN -> $ h1n1(n2)^(-1)(h2)^(-1) $
In particolare so che N è un sottogruppo normale quindi : $h2(n1n2)(h2)^(-1)=n3 $...e $a(b)^(-1) $ =
[moltiplicando a destra e sinistra per $h1(h2)^(-1) $] ...... = $h1(n1n2)(h2)^(-1) $ = $h1(h2)^(-1) *n3 $
e ne segue che appartiene a HN. penso sia giusto o no?...
Per il punto B...sinceramente non so da dove iniziare...mentre per il punto c penso che dovrei usare il teorema cinese del resto..
Sia G gruppo. Siano H e N 2 sottogruppi normali di G.
a) Dimostrare che HN: (hn: h appartiene ad H, n appartiene ad N) è un sottogruppo di G.
b) Dimostrare che se $ H nn N = (e) $ allora hn=nh per ogni h appartenente ad H, ed ogni n appartenente ad N.
c) Dimostrare che se $ H nn N = (e) $ allora HN è isomorfo ad H*N.
allora il primo punto l'ho svolto così:
Sia a= h1n1 e sia b=h2n2 quindi HN è sottogruppo di G se $ a(b)^(-1) $ appartiene ad HN.
Quindi se $ h1n1(h2n2)^(-1) $ appartiene ad HN -> $ h1n1(n2)^(-1)(h2)^(-1) $
In particolare so che N è un sottogruppo normale quindi : $h2(n1n2)(h2)^(-1)=n3 $...e $a(b)^(-1) $ =
[moltiplicando a destra e sinistra per $h1(h2)^(-1) $] ...... = $h1(n1n2)(h2)^(-1) $ = $h1(h2)^(-1) *n3 $
e ne segue che appartiene a HN. penso sia giusto o no?...
Per il punto B...sinceramente non so da dove iniziare...mentre per il punto c penso che dovrei usare il teorema cinese del resto..
Risposte
Puoi modificare il precedente post con l'utilizzo delle formule; ti ricordo da regolamento che sei obbligat* a usarle!
Scusate! ho modificato 
Sì, però attenzione: è \(h_1n_1(h_2n_2)^{-1}=h_1n_1n_2^{-1}h_2^{-1}=h_1h_2^{-1}h_2n_1n_2^{-1}h_2^{-1}\in HN\) (consideri l'inverso di \(n_2\)).
Considera gli elementi \(\forall n\in N;\,h\in H,\,nhn^{-1}h^{-1}\in...\) (osserva bene!)
Sul punto (c) cosa intendi con \(*\)?
Considera gli elementi \(\forall n\in N;\,h\in H,\,nhn^{-1}h^{-1}\in...\) (osserva bene!)
Sul punto (c) cosa intendi con \(*\)?
"j18eos":
Sì, però attenzione: è \(h_1n_1(h_2n_2)^{-1}=h_1n_1n_2^{-1}h_2^{-1}=h_1h_2^{-1}h_2n_1n_2^{-1}h_2^{-1}\in HN\) (consideri l'inverso di \(n_2\)).
Considera gli elementi \(\forall n\in N;\,h\in H,\,nhn^{-1}h^{-1}\in...\) (osserva bene!)
Sul punto (c) cosa intendi con \(*\)?
ah sisi nel primo punto ho sbagliato a scrivere! xD
Nel secondo quindi considero \(nhn^{-1}h^{-1}\) e poichè la loro intersezione è solamente l'elemento neutro quindi è tutto uguale ad e...e quindi nh=hn ?...
nel punto c è la moltiplicazione sarebbe sempre HN..
Graziee!
Allora io il secondo punto l'ho svolto così:
devo dimostrare che se $ H nn N = { e } $ con $ H $ e $ N $ sono normali allora $ hn = nh $ ; $ AA h in H $, $ n in N $.
prendo l'elemento $ hnh^-1 $ , questo è un elemento di $ N $ se consideriamo $ h in G $ perché $ N $ è normale.
Moltiplichiamo a destra per $ n^-1 $ quello che ricavo è sia un elemento di $ N $ che un elemento di $ H $.
per ipotesi questo può essere solo $ e $.
Quindi $ hnh^-1n^-1 = e $ moltiplicando a destra prima per $ n $ poi per $ h $ risulta $ hn=nh $.
$ C.V.D. ????? $
devo dimostrare che se $ H nn N = { e } $ con $ H $ e $ N $ sono normali allora $ hn = nh $ ; $ AA h in H $, $ n in N $.
prendo l'elemento $ hnh^-1 $ , questo è un elemento di $ N $ se consideriamo $ h in G $ perché $ N $ è normale.
Moltiplichiamo a destra per $ n^-1 $ quello che ricavo è sia un elemento di $ N $ che un elemento di $ H $.
per ipotesi questo può essere solo $ e $.
Quindi $ hnh^-1n^-1 = e $ moltiplicando a destra prima per $ n $ poi per $ h $ risulta $ hn=nh $.
$ C.V.D. ????? $
Sì, è tutto OK; non c'è bisogno di sbrodolare così il ragionamento. 
Per il punto (c) considera la funzione \(\varphi:(h;n)\in H\times N\to hn\in HN\), dimostra che è un omomorfismo e utilizza il I teorema di omomorfismo tra gruppi!
Per il punto (c) considera la funzione \(\varphi:(h;n)\in H\times N\to hn\in HN\), dimostra che è un omomorfismo e utilizza il I teorema di omomorfismo tra gruppi!
haha ok! grazie!
si il terzo punto l'ho dimostrato in quel modo ..
ho provato che sia un omomorfismo e poi dimostrato che sia iniettiva e suriettiva!
Grazie mille
si il terzo punto l'ho dimostrato in quel modo ..
ho provato che sia un omomorfismo e poi dimostrato che sia iniettiva e suriettiva!
Grazie mille
Prego, di nulla! 
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