Dubbio su esercizio teorema Sylow
Ciao a tutti! Volevo chiedervi un aiuto per risolvere questo esercizio. Sia G un gruppo finito di ordine 595. Dimostrare che G ha almeno un sottogruppo normale non banale.
Allora, in base alle mie conoscenze lo risolverei dicendo che 595=5*7*17 quindi esistono p-sottogruppi di Sylow tali che
n5 conguro 1 (mod 5) e n5 deve dividere l'ordine di G, 595.
Lo stesso per n7 e n17, quindi
n7 congruo 1 (mod 7) e n17 congruo 1 (mod 17)
indicando con n5, n7 e n17 il possibile numero dei p-sottogruppi.
Ora, i possibili valori sono
n5=1, n7=1,85 e n17=1,35.
Provando a risolvere. Se n5=1 1*4= 4 elementi, n7=1 1*6=6 elementi, n17=1 1*16=16 elementi \rightarrow 26 elementi+1: no.
n5=1 1*4=4 elementi, n7=85 85*6=510 elementi e n17=1 1*16 quindi 530 elementi +1(l'unità): no.
n5=1 1*4=4 elementi, n7=1 1*6= 6 elementi e n17=35 35*16=560 elementi quindi 570 +1: no.
n5=1 1*4=4 elementi, n7=85 85*6= 510 elementi e n17=35 35*16=560 elementi quindi 1074+1:no.
Quindi teoricamente non esistono, ma ciò non credo sia possibile. Mi sapreste dire cosa sbaglio? Grazie.
Allora, in base alle mie conoscenze lo risolverei dicendo che 595=5*7*17 quindi esistono p-sottogruppi di Sylow tali che
n5 conguro 1 (mod 5) e n5 deve dividere l'ordine di G, 595.
Lo stesso per n7 e n17, quindi
n7 congruo 1 (mod 7) e n17 congruo 1 (mod 17)
indicando con n5, n7 e n17 il possibile numero dei p-sottogruppi.
Ora, i possibili valori sono
n5=1, n7=1,85 e n17=1,35.
Provando a risolvere. Se n5=1 1*4= 4 elementi, n7=1 1*6=6 elementi, n17=1 1*16=16 elementi \rightarrow 26 elementi+1: no.
n5=1 1*4=4 elementi, n7=85 85*6=510 elementi e n17=1 1*16 quindi 530 elementi +1(l'unità): no.
n5=1 1*4=4 elementi, n7=1 1*6= 6 elementi e n17=35 35*16=560 elementi quindi 570 +1: no.
n5=1 1*4=4 elementi, n7=85 85*6= 510 elementi e n17=35 35*16=560 elementi quindi 1074+1:no.
Quindi teoricamente non esistono, ma ciò non credo sia possibile. Mi sapreste dire cosa sbaglio? Grazie.
Risposte
Se c'è un solo 5-Sylow (come il teorema di Sylow afferma) allora il 5-Sylow è normale. Quindi avevi finito alla 2° riga.
Riguardo i tuoi calcoli dimentichi che non tutti gli elementi sono necessariamente in un p-Sylow. Per esempio perché non dovrebbe esserci un elemento di ordine 35?
In particolare se sono tutti normali il risultato è il prodotto diretto di 3 gruppi ciclici. Gli altri sono più difficili da descrivere.
Riguardo i tuoi calcoli dimentichi che non tutti gli elementi sono necessariamente in un p-Sylow. Per esempio perché non dovrebbe esserci un elemento di ordine 35?
In particolare se sono tutti normali il risultato è il prodotto diretto di 3 gruppi ciclici. Gli altri sono più difficili da descrivere.
"nella90":
Ciao a tutti! Volevo chiedervi un aiuto per risolvere questo esercizio. Sia G un gruppo finito di ordine 595. Dimostrare che G ha almeno un sottogruppo normale non banale.
Allora, in base alle mie conoscenze lo risolverei dicendo che 595=5*7*17 quindi esistono p-sottogruppi di Sylow tali che
n5 conguro 1 (mod 5) e n5 deve dividere l'ordine di G, 595.
Lo stesso per n7 e n17, quindi
n7 congruo 1 (mod 7) e n17 congruo 1 (mod 17)
In questo caso, si concludeva subito come ti ha già spiegato Vict.
Tieni conto comunque che un gruppo $G$ di ordine $pqr$, con $p
Quindi, modulo aver dimostrato questo fatto, si può escludere che $n_{17}=35$.
Grazie mille, la possibilità che non tutti gli elementi dovessero essere necessariamente in un p-sylow non l'avevo presa in considerazione e la soluzione di n5=1 quindi normale mi sembrava troppo banale per essere giusta.. grazie!
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