Classificazione dei gruppi e teoremi di Sylow
Salve a tutti, volevo chiedere una delucidazione sull'uso dei teoremi di Sylow per classificare i gruppi, o meglio, un aiuto per riuscire a capire come sbrogliare alcune situazioni che al momento mi risultano complicate. Riporto 3 esercizi che in particolare non sono riuscito a completare.
1) Sia $G$ un gruppo di ordine 24 in cui nessun Sylow è normale.
a) Quanti sono i 2-Sylow e i 3-Sylow di $G$?
b) Dimostrare che l'intersezione di tutti i 2-Sylow di $G$ è un sottogruppo [tex]H \unlhd G[/tex] di ordine 4;
c) Dimostrare che, dato un 3-Sylow $N_3$, il gruppo [tex]N=N_3H \unlhd G[/tex] e che $N_3H \cong A_4$
Soluz: a) I 2-Sylow sono 3, i 3-Sylow sono 4 (via terzo teorema di Sylow).
b) Ho provato a fare un po' di conti sugli ordini degli elementi trovando 8 elementi di ordine 3. Da qui facendo delle ipotesi sui 2-Sylow e le loro intersezioni, sono riuscito a determinare, ma non so se correttamente, che due p-Sylow si intersecano certamente in un sottogruppo di ordine 4 (se fossero a intersezione banale ci sarebbero 21 elementi di ordine divisore di 8, troppi; se fossero a intersezione di ordine 2 ci sarebbero 18 elementi di ordine divisore di 2, ancora troppi). Ma a questo punto non riesco a dire con certezza, col solito ragionamento, che l'intersezione di tutti i 2-Sylow ha ordine 4.
c) $N_3\cap H$ è banale, dunque $N$ ha ordine 12, ed è normale in G perchè ha indice 2. A questo punto ho provato a dimostrare che è isomorfo ad $A_4$ mediante il teorema di Cayley, ma non so come proseguire.
2) Dimostrare che un gruppo di ordine $120=2^3\cdot 3\cdot 5$ non è semplice.
Soluz: Mediante il terzo teorema di Sylow non riesco a determinare con precisione il numero dei Sylow, infatti:
$n_5\equiv 1$ (mod 5) mi porta a dire che $n_5=1$ o $n_5=16$
$n_3\equiv 1$ (mod 3) mi porta a dire che $n_3=1$, $n_3=4$ o $n_3=10$
$n_2\equiv 1$ (mod 2) mi porta a dire che $n_2=1$, $n_2=3$, $n_2=5$ o $n_2=15$
Come elimino gli altri casi?
3) Dimostrare che un gruppo di ordine 30 ha 3-Sylow e 5-Sylow normali.
Soluz: Con lo stesso procedimento del 2 mi trovo $n_5=1, 6$, $n_3=1,10$ e $n_2=1,3,5,15$. A questo punto avrei pensato di supporre per assurdo che, ad es, $n_5=6$, ma non trovo l'assurdo...
Se mi poteste aiutare vi sarei molto grato. Vi ringrazio!
Nota: non compare il simbolo di normalità, come si fa? Non funziona nè \triangleleft nè \vartriangleleft come è scritto nella lista di simboli latex che è linkata qui...
1) Sia $G$ un gruppo di ordine 24 in cui nessun Sylow è normale.
a) Quanti sono i 2-Sylow e i 3-Sylow di $G$?
b) Dimostrare che l'intersezione di tutti i 2-Sylow di $G$ è un sottogruppo [tex]H \unlhd G[/tex] di ordine 4;
c) Dimostrare che, dato un 3-Sylow $N_3$, il gruppo [tex]N=N_3H \unlhd G[/tex] e che $N_3H \cong A_4$
Soluz: a) I 2-Sylow sono 3, i 3-Sylow sono 4 (via terzo teorema di Sylow).
b) Ho provato a fare un po' di conti sugli ordini degli elementi trovando 8 elementi di ordine 3. Da qui facendo delle ipotesi sui 2-Sylow e le loro intersezioni, sono riuscito a determinare, ma non so se correttamente, che due p-Sylow si intersecano certamente in un sottogruppo di ordine 4 (se fossero a intersezione banale ci sarebbero 21 elementi di ordine divisore di 8, troppi; se fossero a intersezione di ordine 2 ci sarebbero 18 elementi di ordine divisore di 2, ancora troppi). Ma a questo punto non riesco a dire con certezza, col solito ragionamento, che l'intersezione di tutti i 2-Sylow ha ordine 4.
c) $N_3\cap H$ è banale, dunque $N$ ha ordine 12, ed è normale in G perchè ha indice 2. A questo punto ho provato a dimostrare che è isomorfo ad $A_4$ mediante il teorema di Cayley, ma non so come proseguire.
2) Dimostrare che un gruppo di ordine $120=2^3\cdot 3\cdot 5$ non è semplice.
Soluz: Mediante il terzo teorema di Sylow non riesco a determinare con precisione il numero dei Sylow, infatti:
$n_5\equiv 1$ (mod 5) mi porta a dire che $n_5=1$ o $n_5=16$
$n_3\equiv 1$ (mod 3) mi porta a dire che $n_3=1$, $n_3=4$ o $n_3=10$
$n_2\equiv 1$ (mod 2) mi porta a dire che $n_2=1$, $n_2=3$, $n_2=5$ o $n_2=15$
Come elimino gli altri casi?
3) Dimostrare che un gruppo di ordine 30 ha 3-Sylow e 5-Sylow normali.
Soluz: Con lo stesso procedimento del 2 mi trovo $n_5=1, 6$, $n_3=1,10$ e $n_2=1,3,5,15$. A questo punto avrei pensato di supporre per assurdo che, ad es, $n_5=6$, ma non trovo l'assurdo...
Se mi poteste aiutare vi sarei molto grato. Vi ringrazio!
Nota: non compare il simbolo di normalità, come si fa? Non funziona nè \triangleleft nè \vartriangleleft come è scritto nella lista di simboli latex che è linkata qui...
Risposte
Prima di tutto ricorda che
(*) se hai un gruppo finito [tex]G[/tex] e un suo sottogruppo [tex]H[/tex], definito il normalizzante di [tex]H[/tex] in [tex]G[/tex] come [tex]N_G(H) := \{g \in G\ |\ g^{-1}Hg = H\}[/tex] si ha che [tex]H \unlhd N_G(H) \leq G[/tex] e l'indice [tex]|G:N_G(H)|[/tex] coincide col numero di coniugati di [tex]H[/tex] in [tex]G[/tex]. Inoltre [tex]N_G(H)[/tex] contiene tutti i sottogruppi di [tex]G[/tex] che contengono [tex]H[/tex] come sottogruppo normale (questa e' teoria di base sulle azioni dei gruppi).
1b) Ti consiglio di pensarla in questo modo: [tex]G[/tex] agisce sui laterali destri di un 2-Sylow [tex]P[/tex] per moltiplicazione a destra, e il nucleo e' l'intersezione dei coniugati di [tex]P[/tex], quindi coincide con il tuo [tex]H[/tex]. Siccome i 2-Sylow sono tre, ottieni un omomorfismo iniettivo [tex]G/H \to S_3[/tex] e ora e' facile concludere che [tex]H[/tex] ha ordine 4.
1c) Il tuo [tex]N[/tex] ha ordine 12. Per mostrare che e' normale in G osserva che [tex]N_3[/tex] non puo' essere normale in [tex]N[/tex] (dato che il suo normalizzante ha indice 4, cioe' ordine 6 - cf. (*)), quindi ha quattro coniugati in [tex]N[/tex], quindi tutti i suoi coniugati in [tex]G[/tex] sono in [tex]N[/tex]. L'azione di coniugio di [tex]N[/tex] sui suoi quattro 3-Sylow ti da' un omomorfismo [tex]N \to S_4[/tex], se dimostri che il nucleo e' banale hai finito.
Metodo diretto. Osserva che basta dimostrare che esiste un 5-Sylow normale oppure esiste un 3-Sylow normale. Infatti detto (per esempio) P un 3-Sylow normale e detto Q un 5-Sylow, [tex]PQ[/tex] e' un sottogruppo di [tex]G[/tex] (dato che P e' normale) di ordine 15 (analogamente nell'altro caso). Ora l'esercizio dovrebbe risultarti fattibile.
Metodo intelligente. Prendi un gruppo [tex]G[/tex] di ordine 30 e considera la sua azione su se stesso per moltiplicazione a destra. Questo ti da' un omomorfismo iniettivo [tex]G \to S_{30}[/tex], quindi puoi pensare a [tex]G[/tex] come a un sottogruppo di [tex]S_{30}[/tex]. L'idea e' dimostrare che [tex]G[/tex] non e' contenuto in [tex]A_{30}[/tex], per dedurre poi che [tex]G \cap A_{30}[/tex] ha indice 2 in [tex]G[/tex]. Questa idea si generalizza in modo fighissimo: vedi qui.
Metodo diretto. Supponiamo che G sia semplice. Usiamo (*). Se trovi un sottogruppo H di G di indice minore o uguale a 5 allora agendo sui suoi laterali destri ottieni un omomorfismo iniettivo (ricorda che G e' semplice) [tex]G \to S_5[/tex] (eventualmente componendo con le inclusioni [tex]S_2 \to S_3 \to S_4 \to S_5[/tex]), il che ti porta a concludere (dato che G ha ordine 120) che [tex]G \cong S_5[/tex], e [tex]S_5[/tex] non e' semplice. Tutto questo implica che necessariamente [tex]n_5=8[/tex], [tex]n_3 \geq 10[/tex] e [tex]n_2=15[/tex]. Il fatto che [tex]n_5=8[/tex] ti dice che il normalizzante di un 5-Sylow ha ordine 15, quindi e' ciclico, quindi esistono in G elementi di ordine 15, sia [tex]g[/tex] uno di essi. Il sottogruppo [tex]\langle g \rangle[/tex] ha otto coniugati (il numero di coniugati e' l'indice del normalizzante.. cf. (*) - e questo indice non puo' essere troppo piccolo), e ora si puo' dedurre un assurdo dal fatto che abbiamo trovato troppi elementi.
Metodo intelligente. Questo.
PS. Col 'tex' il simbolo di 'normale' si fa cosi': \unlhd, oppure \unrhd (te li ho sistemati, vedi il tuo intervento sopra).
(*) se hai un gruppo finito [tex]G[/tex] e un suo sottogruppo [tex]H[/tex], definito il normalizzante di [tex]H[/tex] in [tex]G[/tex] come [tex]N_G(H) := \{g \in G\ |\ g^{-1}Hg = H\}[/tex] si ha che [tex]H \unlhd N_G(H) \leq G[/tex] e l'indice [tex]|G:N_G(H)|[/tex] coincide col numero di coniugati di [tex]H[/tex] in [tex]G[/tex]. Inoltre [tex]N_G(H)[/tex] contiene tutti i sottogruppi di [tex]G[/tex] che contengono [tex]H[/tex] come sottogruppo normale (questa e' teoria di base sulle azioni dei gruppi).
1b) Ti consiglio di pensarla in questo modo: [tex]G[/tex] agisce sui laterali destri di un 2-Sylow [tex]P[/tex] per moltiplicazione a destra, e il nucleo e' l'intersezione dei coniugati di [tex]P[/tex], quindi coincide con il tuo [tex]H[/tex]. Siccome i 2-Sylow sono tre, ottieni un omomorfismo iniettivo [tex]G/H \to S_3[/tex] e ora e' facile concludere che [tex]H[/tex] ha ordine 4.
1c) Il tuo [tex]N[/tex] ha ordine 12. Per mostrare che e' normale in G osserva che [tex]N_3[/tex] non puo' essere normale in [tex]N[/tex] (dato che il suo normalizzante ha indice 4, cioe' ordine 6 - cf. (*)), quindi ha quattro coniugati in [tex]N[/tex], quindi tutti i suoi coniugati in [tex]G[/tex] sono in [tex]N[/tex]. L'azione di coniugio di [tex]N[/tex] sui suoi quattro 3-Sylow ti da' un omomorfismo [tex]N \to S_4[/tex], se dimostri che il nucleo e' banale hai finito.
3) Dimostrare che un gruppo di ordine 30 ha 3-Sylow e 5-Sylow normali.Se ti ricordi che ogni gruppo di ordine 15 e' ciclico e che i sottogruppi di indice 2 sono normali, quanto richiedi e' equivalente a mostrare che ogni gruppo di ordine 30 ha un sottogruppo di ordine 15. Per fare questo ci sono due modi, uno diretto e uno piu' intelligente.
Metodo diretto. Osserva che basta dimostrare che esiste un 5-Sylow normale oppure esiste un 3-Sylow normale. Infatti detto (per esempio) P un 3-Sylow normale e detto Q un 5-Sylow, [tex]PQ[/tex] e' un sottogruppo di [tex]G[/tex] (dato che P e' normale) di ordine 15 (analogamente nell'altro caso). Ora l'esercizio dovrebbe risultarti fattibile.
Metodo intelligente. Prendi un gruppo [tex]G[/tex] di ordine 30 e considera la sua azione su se stesso per moltiplicazione a destra. Questo ti da' un omomorfismo iniettivo [tex]G \to S_{30}[/tex], quindi puoi pensare a [tex]G[/tex] come a un sottogruppo di [tex]S_{30}[/tex]. L'idea e' dimostrare che [tex]G[/tex] non e' contenuto in [tex]A_{30}[/tex], per dedurre poi che [tex]G \cap A_{30}[/tex] ha indice 2 in [tex]G[/tex]. Questa idea si generalizza in modo fighissimo: vedi qui.
2) Dimostrare che un gruppo di ordine $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ non è semplice.Anche qui ci sono due modi, uno diretto e uno intelligente.
Metodo diretto. Supponiamo che G sia semplice. Usiamo (*). Se trovi un sottogruppo H di G di indice minore o uguale a 5 allora agendo sui suoi laterali destri ottieni un omomorfismo iniettivo (ricorda che G e' semplice) [tex]G \to S_5[/tex] (eventualmente componendo con le inclusioni [tex]S_2 \to S_3 \to S_4 \to S_5[/tex]), il che ti porta a concludere (dato che G ha ordine 120) che [tex]G \cong S_5[/tex], e [tex]S_5[/tex] non e' semplice. Tutto questo implica che necessariamente [tex]n_5=8[/tex], [tex]n_3 \geq 10[/tex] e [tex]n_2=15[/tex]. Il fatto che [tex]n_5=8[/tex] ti dice che il normalizzante di un 5-Sylow ha ordine 15, quindi e' ciclico, quindi esistono in G elementi di ordine 15, sia [tex]g[/tex] uno di essi. Il sottogruppo [tex]\langle g \rangle[/tex] ha otto coniugati (il numero di coniugati e' l'indice del normalizzante.. cf. (*) - e questo indice non puo' essere troppo piccolo), e ora si puo' dedurre un assurdo dal fatto che abbiamo trovato troppi elementi.
Metodo intelligente. Questo.
PS. Col 'tex' il simbolo di 'normale' si fa cosi': \unlhd, oppure \unrhd (te li ho sistemati, vedi il tuo intervento sopra).
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