Definizione Algebra
Da bravo ingegnere ho sempre parlato piu' o meno a vanvera di algebra.
Da bravo amante della matematica mi sono appena accorto di non sapere esattamente cosa si intende per algebra.
Mi potreste dare una definizione formale, ma al contempo non tanto tecnica da non essere capita da un povero ingegnere?
Grazie
Cosimo
Da bravo amante della matematica mi sono appena accorto di non sapere esattamente cosa si intende per algebra.
Mi potreste dare una definizione formale, ma al contempo non tanto tecnica da non essere capita da un povero ingegnere?
Grazie
Cosimo
Risposte
Ciao,
dipende da che campo matematico intendi
per citare dissonance in una domanda che feci io poco tempo fa qui:
cioè, intendi l'algebra della teoria degli insiemi?
"dzcosimo":
Mi potreste dare una definizione formale, ma al contempo non tanto tecnica da non essere capita da un povero ingegnere?
dipende da che campo matematico intendi
per citare dissonance in una domanda che feci io poco tempo fa qui:
"dissonance":
Del resto non c'è da stupirsi visto che algebra è una delle parole più inflazionate di tutta la matematica moderna. Significa un sacco di cose, tutte completamente diverse tra loro.
cioè, intendi l'algebra della teoria degli insiemi?
so assai XD
a parte gli scherzi... Credo di si', ma non lo so. Credo che la mia confusione a riguardo dipenda proprio da quanto dice dissonance (cosa che in parte ignoravo)
a parte gli scherzi... Credo di si', ma non lo so. Credo che la mia confusione a riguardo dipenda proprio da quanto dice dissonance (cosa che in parte ignoravo)
In generale la maggior parte delle cose che chiamiamo algebra sono cose molto simili e penso anche legate in qualche modo non proprio molto trasparente. Dovrei pensarci un po' per riunirle e collegarle.
Dopo di che ci sono le algebra dell'algebra universale e in questo caso è praticamente un sinonimo di struttura algebrica.
Dopo di che ci sono le algebra dell'algebra universale e in questo caso è praticamente un sinonimo di struttura algebrica.
Da quanto ho visto nella mia (breve!) vita di matematico, ci sono principalmente due aree semantiche per il termine algebra.
Il primo è l'uso tradizionale di "algebra": algebra= far di conto, manipolare equazioni ecc. Quando un prof di fisica (tipicamente!) dice: "basta ora usare un po' di algebra e arriviamo alla nostra formula", si riferisce a questa area semantica. Personalmente ritengo questo uso del termine molto vago e generico e da evitare.
Il secondo è l'uso moderno del termine algebra: algebra è tutto ciò che riguarda strutture algebriche, cioè insiemi dotati di certe operazioni e/o certe proprietà formali assiomatiche. Ad esempio, anelli, campi, gruppi, moduli, spazi vettoriali, categorie...e naturalmente le "algebre" per antonomasia (che sono delle particolari strutture algebriche - spazi vettoriali dotati di un prodotto bilineare blablabla...). Questo uso del termine algebra non si trova solo nella branca della matematica che viene detta Algebra, ma anche in altre. Ad esempio, le $\sigma$-algebre, usate in teoria della misura, non sono state chiamate così per caso, ma perché sono degli insiemi dotati di certe proprietà formali.
Il primo è l'uso tradizionale di "algebra": algebra= far di conto, manipolare equazioni ecc. Quando un prof di fisica (tipicamente!) dice: "basta ora usare un po' di algebra e arriviamo alla nostra formula", si riferisce a questa area semantica. Personalmente ritengo questo uso del termine molto vago e generico e da evitare.
Il secondo è l'uso moderno del termine algebra: algebra è tutto ciò che riguarda strutture algebriche, cioè insiemi dotati di certe operazioni e/o certe proprietà formali assiomatiche. Ad esempio, anelli, campi, gruppi, moduli, spazi vettoriali, categorie...e naturalmente le "algebre" per antonomasia (che sono delle particolari strutture algebriche - spazi vettoriali dotati di un prodotto bilineare blablabla...). Questo uso del termine algebra non si trova solo nella branca della matematica che viene detta Algebra, ma anche in altre. Ad esempio, le $\sigma$-algebre, usate in teoria della misura, non sono state chiamate così per caso, ma perché sono degli insiemi dotati di certe proprietà formali.
Quindi ad esempio lo studio delle sigma algebre che si usano in probabilita' e' quistione di probabilita' appunto o di algebra?
Nell'ottica che dicevi, l'algebra lineare si intende la parte dell'algebra che studia le strutture algebriche con proprieta' di linearita' o non c'entra nulla?
Nell'ottica che dicevi, l'algebra lineare si intende la parte dell'algebra che studia le strutture algebriche con proprieta' di linearita' o non c'entra nulla?
Le $\sigma$-algebre sono di fatto delle strutture di tipo algebrico, però sono studiate da analisti e probabilisti perché servono in quegli ambiti. Non è affatto detto che una struttura di tipo algebrico abbia applicazioni esclusivamente algebriche!
Sì, in qualche modo l'algebra lineare studia strutture algebriche con proprietà di linearità. Anche se questa affermazione è troppo vaga e generica; l'algebra lineare è specificamente lo studio delle matrici e degli spazi vettoriali (che sono certamente oggetti "lineari"). Credo che il termine lineare comunque derivi dal fatto che una delle principali applicazioni dell'algebra lineare è lo studio dei sistemi lineari.
Sì, in qualche modo l'algebra lineare studia strutture algebriche con proprietà di linearità. Anche se questa affermazione è troppo vaga e generica; l'algebra lineare è specificamente lo studio delle matrici e degli spazi vettoriali (che sono certamente oggetti "lineari"). Credo che il termine lineare comunque derivi dal fatto che una delle principali applicazioni dell'algebra lineare è lo studio dei sistemi lineari.
Molto interessante
Mi dici che le strutture di tipo algebrico non hanno per forza applicazioni algebriche. Cosa si intende per applicazioni(ovviamente non nel senso matematico del termine XD) algebriche?
Mi dici che le strutture di tipo algebrico non hanno per forza applicazioni algebriche. Cosa si intende per applicazioni(ovviamente non nel senso matematico del termine XD) algebriche?
Come non in senso matematico?? 
L'algebra è una branca della matematica, anzi probabilmente la branca più astratta della matematica! Per 'applicazioni' algebriche intendo studi di oggetti algebrici fatti dagli algebristi (anziché ad esempio dai probabilisti). Ti faccio un esempio di un concetto matematico che può essere sviluppato in senso algebrico sia in senso analitico (con risultati del tutto differenti): il concetto di ortogonalità.
Due vettori nello spazio sono ortogonali quando formano un angolo di 90 gradi, ovvero quando il loro prodotto scalare in $\mathbb{R}^3$ è 0. Bene.
Sviluppo algebrico: perché considerare solo vettori in $R^3$, che è un particolare spazio vettoriale su $\mathbb{R}$? $\mathbb{R}$ è un campo (non so se conosci questo termine), altri esempi di campi sono $\mathbb{C}$ e $\mathbb{Q}$ (ci sono persino campi finiti, lo sapevi?
). Si possono costruire spazi vettoriali qualsiasi su campi arbitrari, e su di essi si possono definire strutture analoghe al solito prodotto scalare, che sono le forme bilineari simmetriche. Da qui le forme quadratiche, gli spazi ortogonali ecc. Tutte cose studiate dagli algebristi.
Sviluppo analitico: perché considerare solo vettori in spazi di dimensione finita? Prendiamo uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ di dimensione (eventualmente) infinita, dotato di un prodotto scalare (che soddisfa cioè le stesse proprietà di bilinearità e simmetria del solito prodotto scalare in $\mathbb{R}^3$). Uno spazio siffatto, se è completo, viene detto spazio di Hilbert ed è uno degli oggetti più studiati dagli analisti. Ne derivano gli stessi concetti di vettori ortogonali, proiezioni ortogonali, basi ortonormali ecc. Però stavolta, avendo lo spazio dimensione infinita, i "vettori" possono essere delle funzioni. Dato che nelle equazioni differenziali l'incognita è una funzione, la soluzione va ricercata in uno spazio funzionale, che molto spesso è uno spazio di Hilbert. Ecco l'importanza degli spazi di Hilbert per la teoria delle equaz.differenziali. Gli spazi di Hilbert complessi sono anche indispensabili per la meccanica quantistica, ad esempio.
Ho divagato un po'... non so se è quello che mi chiedevi tu
L'algebra è una branca della matematica, anzi probabilmente la branca più astratta della matematica! Per 'applicazioni' algebriche intendo studi di oggetti algebrici fatti dagli algebristi (anziché ad esempio dai probabilisti). Ti faccio un esempio di un concetto matematico che può essere sviluppato in senso algebrico sia in senso analitico (con risultati del tutto differenti): il concetto di ortogonalità.Due vettori nello spazio sono ortogonali quando formano un angolo di 90 gradi, ovvero quando il loro prodotto scalare in $\mathbb{R}^3$ è 0. Bene.
Sviluppo algebrico: perché considerare solo vettori in $R^3$, che è un particolare spazio vettoriale su $\mathbb{R}$? $\mathbb{R}$ è un campo (non so se conosci questo termine), altri esempi di campi sono $\mathbb{C}$ e $\mathbb{Q}$ (ci sono persino campi finiti, lo sapevi?
). Si possono costruire spazi vettoriali qualsiasi su campi arbitrari, e su di essi si possono definire strutture analoghe al solito prodotto scalare, che sono le forme bilineari simmetriche. Da qui le forme quadratiche, gli spazi ortogonali ecc. Tutte cose studiate dagli algebristi.Sviluppo analitico: perché considerare solo vettori in spazi di dimensione finita? Prendiamo uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ di dimensione (eventualmente) infinita, dotato di un prodotto scalare (che soddisfa cioè le stesse proprietà di bilinearità e simmetria del solito prodotto scalare in $\mathbb{R}^3$). Uno spazio siffatto, se è completo, viene detto spazio di Hilbert ed è uno degli oggetti più studiati dagli analisti. Ne derivano gli stessi concetti di vettori ortogonali, proiezioni ortogonali, basi ortonormali ecc. Però stavolta, avendo lo spazio dimensione infinita, i "vettori" possono essere delle funzioni. Dato che nelle equazioni differenziali l'incognita è una funzione, la soluzione va ricercata in uno spazio funzionale, che molto spesso è uno spazio di Hilbert. Ecco l'importanza degli spazi di Hilbert per la teoria delle equaz.differenziali. Gli spazi di Hilbert complessi sono anche indispensabili per la meccanica quantistica, ad esempio.
Ho divagato un po'... non so se è quello che mi chiedevi tu
sì ma io non volevo che si potesse intendere applicazione in questo senso: http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_%28matematica%29
si' e' esattamente quello che chiedevo... Quanto mi piacerebbe studiare queste cose
comunque grazie mille
si' e' esattamente quello che chiedevo... Quanto mi piacerebbe studiare queste cose
comunque grazie mille
ah applicazione nel senso di funzione no no 
cmq figurati! sei sempre in tempo x iscriverti a matematica anche se sei già ingegnere!
cmq figurati! sei sempre in tempo x iscriverti a matematica anche se sei già ingegnere!
si' per vedere se mi sacrificate all'altare del sacro dio della matematica XD
Salve dzcosimo,
leggi le idee di base di questa pagina http://it.wikipedia.org/wiki/Algebra_un ... ee_di_base
Cordiali saluti
"dzcosimo":
Da bravo ingegnere ho sempre parlato piu' o meno a vanvera di algebra.
Da bravo amante della matematica mi sono appena accorto di non sapere esattamente cosa si intende per algebra.
Mi potreste dare una definizione formale, ma al contempo non tanto tecnica da non essere capita da un povero ingegnere?
Grazie
Cosimo
leggi le idee di base di questa pagina http://it.wikipedia.org/wiki/Algebra_un ... ee_di_base
Cordiali saluti
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