Verificare se è un monoide commutativo
Salve ragazzi, stò cercando di capire come svolgere il seguente esercizio:
Posto $S={1,2,3}$, sia $T=Z_8^S={f | f: S->Z_8$ è un'applicazione $}$.
(i) Determinare l'ordine ti $T$.
(ii) Definita in T l'operazione $*$ come segue $AA f,g in T$,
$f * g: x in S -> f(x)g(x) in Z_8$
verificare che $(T,*)$ è un monoide commutativo. Di esso si caratterizzino gli elementi invertibili.
(iii) Se $f, g in T$ sono iniettive $f*g$ è iniettiva?
(iv) Se $f in T$ è tale che $f(a)=f(b)=bar 1 e f(c)=bar 4$, determinare tutte le applicazioni $g in T$ tali che $f * g$ sia la costante zero.
Per il punto (i) è giusto dire così:
$Z_8={0,1,2,3,4,5,6,7}$ contiene 8 elementi, mentre $S$ ne contiene 3, l'ordine di $T$ sarà: $8^3=512$ è corretto?
per il (ii) punto, per verificare che è un monoide commutativo, devo verificare che l'operazione è associativa ed esiste l'elemento neutro.
1 . associatività:
$AA f,g,h in T, (f*g)*h=f*(g*h)$
$(f*g)*h=[f(x)g(x)]*h= f(x)g(x)h(x)$
$f*(g*h)=f*[(g(x)h(x)]=f(x)g(x)h(x)$
Quindi è associativa.
Per l'esistenza dell'elemento neutro faccio:
$EE u in T, f*u=f AAf in T$
$f(x)u(x)=f(x)$ quindi $u(x)=1$
Inoltre è commutativo ed è inutile verificare l'esistenza dell'elemento neutro a sinistra.
(iii) punto.
Se due funzioni $f, g$ sono iniettive allora la composizione di due funzioni composte sarà tal volta una funzione composta. Quindi la risposta è si. Ma non vale il viceversa cioè se $f*g$ è iniettiva, possiamo dire con sicurezza che $g$ è iniettiva ma $f$ potrebbe non esserlo.
(iv) Non saprei come svolgerlo.
Qualcuno può verificare le mie risposte, e se ci sono errori potrebbe farmi capire in che modo andava svolto l'esercizio?
Grazie anticipatamente.
Posto $S={1,2,3}$, sia $T=Z_8^S={f | f: S->Z_8$ è un'applicazione $}$.
(i) Determinare l'ordine ti $T$.
(ii) Definita in T l'operazione $*$ come segue $AA f,g in T$,
$f * g: x in S -> f(x)g(x) in Z_8$
verificare che $(T,*)$ è un monoide commutativo. Di esso si caratterizzino gli elementi invertibili.
(iii) Se $f, g in T$ sono iniettive $f*g$ è iniettiva?
(iv) Se $f in T$ è tale che $f(a)=f(b)=bar 1 e f(c)=bar 4$, determinare tutte le applicazioni $g in T$ tali che $f * g$ sia la costante zero.
Per il punto (i) è giusto dire così:
$Z_8={0,1,2,3,4,5,6,7}$ contiene 8 elementi, mentre $S$ ne contiene 3, l'ordine di $T$ sarà: $8^3=512$ è corretto?
per il (ii) punto, per verificare che è un monoide commutativo, devo verificare che l'operazione è associativa ed esiste l'elemento neutro.
1 . associatività:
$AA f,g,h in T, (f*g)*h=f*(g*h)$
$(f*g)*h=[f(x)g(x)]*h= f(x)g(x)h(x)$
$f*(g*h)=f*[(g(x)h(x)]=f(x)g(x)h(x)$
Quindi è associativa.
Per l'esistenza dell'elemento neutro faccio:
$EE u in T, f*u=f AAf in T$
$f(x)u(x)=f(x)$ quindi $u(x)=1$
Inoltre è commutativo ed è inutile verificare l'esistenza dell'elemento neutro a sinistra.
(iii) punto.
Se due funzioni $f, g$ sono iniettive allora la composizione di due funzioni composte sarà tal volta una funzione composta. Quindi la risposta è si. Ma non vale il viceversa cioè se $f*g$ è iniettiva, possiamo dire con sicurezza che $g$ è iniettiva ma $f$ potrebbe non esserlo.
(iv) Non saprei come svolgerlo.
Qualcuno può verificare le mie risposte, e se ci sono errori potrebbe farmi capire in che modo andava svolto l'esercizio?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Ti invito a riconsiderare il punto (iii). Considera il caso in cui si abbiano \( f(1) = g(2) \) e \( f(2) = g(1) \), In questo caso il prodotto \( (f \cdot g)(1) = f(1)g(1) = g(2)g(1) = g(2)f(2) = f(2)g(2) = (f \cdot g)(2) \). È quindi possibile avere due funzioni iniettive il cui prodotto non sia iniettivo.
Per il punto (iv) devi solo considerare una generica funzione \(g\) e per ogni \( s \in S \) risolvere l'equazione \((f \cdot g)(s) = f(s) g(s) = 0 \). Hai quindi \( 0 = (f \cdot g)(1) = f(1)g(1) = 1 g(1) = g(1) \) e in modo simile si ottiene anche \( 0 = (f \cdot g)(2) = g(2) \). Infine hai \( 0 = (f \cdot g)(3) = 4 g(3) \). Questa equazione ha come soluzione l'insieme dei numeri pari e si ottiene quindi che \(g\) rispetta le condizioni \( \{1, 2\} \mapsto 0, \{3\} \mapsto \{0, 2, 4, 6\}\) e ce ne sono quindi in tutto \(4\). E se \(f\) avesse mandato \( 1 \mapsto 2 \), \( 2 \mapsto 6 \) e \(3 \mapsto 7\)?
Per il punto (iv) devi solo considerare una generica funzione \(g\) e per ogni \( s \in S \) risolvere l'equazione \((f \cdot g)(s) = f(s) g(s) = 0 \). Hai quindi \( 0 = (f \cdot g)(1) = f(1)g(1) = 1 g(1) = g(1) \) e in modo simile si ottiene anche \( 0 = (f \cdot g)(2) = g(2) \). Infine hai \( 0 = (f \cdot g)(3) = 4 g(3) \). Questa equazione ha come soluzione l'insieme dei numeri pari e si ottiene quindi che \(g\) rispetta le condizioni \( \{1, 2\} \mapsto 0, \{3\} \mapsto \{0, 2, 4, 6\}\) e ce ne sono quindi in tutto \(4\). E se \(f\) avesse mandato \( 1 \mapsto 2 \), \( 2 \mapsto 6 \) e \(3 \mapsto 7\)?
Perdonami, però non mi è molto chiaro il punto vi) inoltre puoi confermarmi che il punto i) è corretto? Precisamente con ordine di un insieme, indichiamo il numero degli elementi dell'insieme???
Sì, il primo punto è corretto perché per ogni elemento del dominio hai 8 possibili valori del codominio per cui \( 8^3 \) è il numero di elementi in tale insieme. Che cosa non ti è chiaro del punto (iv) esattamente?
In primis, non mi è chiaro cosa vuole dal testo:
Poi non riesco a capire perchè esce fuori: $(f*g)(1)$....$(f*g)(2)$ etc...
Se $f in T$ è tale che $f(a)=f(b)=bar 1$ e $f(c)=bar 4$, determinare tutte le applicazioni $g in T$ tali che $f*g$ sia la costante zero.
Poi non riesco a capire perchè esce fuori: $(f*g)(1)$....$(f*g)(2)$ etc...
Siccome a, b e c non compaiono nel testo ho immaginato si trattasse invece dei simboli 1, 2 e 3 di S.
a,b e c, dovrebbero essere i valori che appartengono ad S, no? Continuo a non capire 
Sì, dovrebbero essere elementi di \(S\). Credo abbia solo sbagliato a scrivere il nome degli elementi.
Quindi se non ho capito male:
Quando io scrivo una cosa del genere:
$f*g: x in S -> f(x)g(x) in Z_8$
Dico:
Alla composizione delle funzioni $f$ e $g$ , dò come valori alle funzioni i valori $x$ che appartengono ad $S$ ed associo il prodotto di $f(x)g(x)$ che appartiene a $Z_8$.
Quindi per:
$x=1$ ho:
$(f*g)(x)=f(g(x))=f(g(1))$ => non dovrebbe essere una cosa di questo tipo?
Non riesco a capire perchè tu fai:
$(f*g)(1)=f(1)g(1)=$ e poi come risultato: $1g(1)$
??
Quando io scrivo una cosa del genere:
$f*g: x in S -> f(x)g(x) in Z_8$
Dico:
Alla composizione delle funzioni $f$ e $g$ , dò come valori alle funzioni i valori $x$ che appartengono ad $S$ ed associo il prodotto di $f(x)g(x)$ che appartiene a $Z_8$.
Quindi per:
$x=1$ ho:
$(f*g)(x)=f(g(x))=f(g(1))$ => non dovrebbe essere una cosa di questo tipo?
Non riesco a capire perchè tu fai:
$(f*g)(1)=f(1)g(1)=$ e poi come risultato: $1g(1)$
??
Ma non è la composizione di funzioni... ma il prodotto tra i valori che assumono le funzioni per un determinato valore.
Scusami qui cosa dice:
$f*g : x in S -> f(x)g(x) in Z_8 $
$f*g : x in S -> f(x)g(x) in Z_8 $
Perfetto ora mi è chiaro, mi sono confuso con la composizione tra funzioni.
Giustamente qui abbiamo S che è un insieme e T chè è l'insieme di tutte le applicazioni.
Prese due generiche funzioni f,g in T, poniamo un operazione * del tipo:
$f * g : x in S -> f(x)g(x) in Z_8$
Dopodichè mi chiede in primis nell'esercizio di verificare se $(T,*)$ è un monoide commutativo e inoltre mi chiede di caratterizzare gli elementi invertibili. Per la verifica del monoide non ho avuto problemi, ma come si caratterizzano gli elementi invertibili?
Dovrei verificare questo:
$EE b in T : f*b=u AA f in T$ dove $u$ è l'elemento neutro $(1)$
Quindi come faccio poi a determinare gli elementi invertibili???
Poi riguardo al procedimento che mi scrivesti tu, sinceramente ho ancora dubbi , perdonami.
Giustamente qui abbiamo S che è un insieme e T chè è l'insieme di tutte le applicazioni.
Prese due generiche funzioni f,g in T, poniamo un operazione * del tipo:
$f * g : x in S -> f(x)g(x) in Z_8$
Dopodichè mi chiede in primis nell'esercizio di verificare se $(T,*)$ è un monoide commutativo e inoltre mi chiede di caratterizzare gli elementi invertibili. Per la verifica del monoide non ho avuto problemi, ma come si caratterizzano gli elementi invertibili?
Dovrei verificare questo:
$EE b in T : f*b=u AA f in T$ dove $u$ è l'elemento neutro $(1)$
Quindi come faccio poi a determinare gli elementi invertibili???
Poi riguardo al procedimento che mi scrivesti tu, sinceramente ho ancora dubbi , perdonami.
up
Ma che cosa significa essere un elemento invertibile? Scrivi la definizione e verifica quali sono le funzioni che la rispettano.. Data la tua definizione una funzione è invertibile se per ogni \(x \in S\), \( f(x) \) è invertibile in \( \mathbb Z_8 \). Dalla definizione di invertibilità abbiamo che deve esistere una funzione \( g \) tale che \( f \cdot g = e \) (\(e\) è in questo caso l'identità che hai trovato). Cioè, per ogni \(x\) deve valere \( f(x)g(x) = 1 \). \(f(x)\) e \(g(x)\) devono cioè essere invertibili in \(\mathbb Z_8\). Le mappe invertibili sono quindi quelle per cui \(f(x)\) è invertibile per ogni \(x \in S\).
Scusami, potresti spiegarmi meglio il passaggio dopo aver impostato:
$f(x)g(x)=1$, dopodichè , perchè dici che Le mappe invertibili sono quelle per cui $f(x)$ è invertibile $AA x in S$???
$f(x)g(x)=1$, dopodichè , perchè dici che Le mappe invertibili sono quelle per cui $f(x)$ è invertibile $AA x in S$???
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo