Calcolare il numero delle funzioni suriettive da A in B
Buongiorno, avrei bisogno di un chiarimento circa la soluzione per questo esercizio.
Calcolare il numero di applicazioni suriettive $f$ dall’insieme $A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }$ nell’insieme $B = { 1, 2, 3 }$ tali che per ogni $b \in B$ sia $ |f^{-1} (b)| ≤ 2$.
Ho già svolto alcuni esercizi che richiedevano di contare il numero di funzioni suriettive fra due insiemi. Ma in questo caso non so come sbrigliare la situazione.
In genere calcolavo prima il numero totale di funzioni e toglievo da questo numero il numero delle funzioni non suriettive...
Ma in questo caso la condizione $|f^{-1}(b)| ≤ 2$ mi blocca...
Qualche idea?
Grazie
Calcolare il numero di applicazioni suriettive $f$ dall’insieme $A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }$ nell’insieme $B = { 1, 2, 3 }$ tali che per ogni $b \in B$ sia $ |f^{-1} (b)| ≤ 2$.
Ho già svolto alcuni esercizi che richiedevano di contare il numero di funzioni suriettive fra due insiemi. Ma in questo caso non so come sbrigliare la situazione.
In genere calcolavo prima il numero totale di funzioni e toglievo da questo numero il numero delle funzioni non suriettive...
Ma in questo caso la condizione $|f^{-1}(b)| ≤ 2$ mi blocca...
Qualche idea?
Grazie
Risposte
Quanti valori possono apparire esattamente una volta?
"ghira":
Quanti valori possono apparire esattamente una volta?
A rigor di logica 0 valori di $B$ possono essere presi una sola volta..
Ogni valore di $B$ deve essere immagine di esattamente $2$ valori di $A$...
Però come le conto le mappe suriettive ora?
"Desirio":
Ogni valore di $B$ deve essere immagine di esattamente $2$ valori di $A$...
Però come le conto le mappe suriettive ora?
Non ti basta quello che hai appena detto?
"ghira":
[quote="Desirio"]
Ogni valore di $B$ deve essere immagine di esattamente $2$ valori di $A$...
Però come le conto le mappe suriettive ora?
Non ti basta quello che hai appena detto?[/quote]
Quindi se per ogni elemento $b \in B$ si ha che $| f^{-1}(b) | = 2$ ed essendo tre gli elementi di $B$ si ha che il numero delle funzioni suriettive da $A$ in $B$ è dato dal numero dei sottoinsiemi di due elementi di $A$ (che sono le scelte possibili delle retroimmagini per il primo elemento di $B$) ed è uguale al coefficiente binomiale 6 su 2 (=15) moltiplicato il numero dei sottoinsiemi di $2$ elementi su $4$ elementi moltiplicato per $1$... Verrebbe 90...
Ovvero l'elemento $1 \in B$ ha esattamente $15$ scelte possibili di essere associato tramite $f^{-1}(1)$ a $2$ valori di $A$. L'elemento $2 \in B$ ha $6$ scelte possibili di essere associato tramite $f^{-1}(2)$ a due elementi in $A$ e l'elemento $3 \in B$ ha $1$ scelta possibile di essere associato tramite $f^{-1}(3)$ a due elementi in $A$.. quindi in tutto ho 90 funzioni suriettive??
"Desirio":
quindi in tutto ho 90 funzioni suriettive??
Suriettive punto e basta no. Suriettive tali che ecc. ecc. sì. Non sembri molto convinto/a.
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