Elementi invertibili estensioni ciclotomiche dell'anello degli interi
Ciao a tutti, vi chiedi aiuto per risolvere un esercizio del corso di Teoria dei numeri che non riesco proprio a risolvere.
L'esercizio in questione è:
Sia $\zeta$ una radice primitiva p-esima dell'unità con p numero primo. Mostrare che
$$\mathbb{Z}[\zeta]ˣ=(\zeta)\mathbb{Z}[\zeta+\zeta^{-1}]ˣ$$
La mia idea era di usare il teorema delle unità di Dirichlet. Dato che l'unica immersione reale di $\mathbb{Q}[\zeta]$ è l'identità risulta $\mathbb{Z}[\zeta]ˣ \cong \mu (\mathbb{Q}[\zeta]) \times \mathbb{Z}^{\frac{p-1}{2}]$
dove con $\mu (\mathbb{Q}[\zeta])$ indichiamo il gruppo delle radici dell'unità in $\mathbb{Q}[\zeta]$.
Ho dimostrato che $\mathbb{Z}[\zeta+\zeta ^{-1}]=\mathbb{Z}[\zeta] \cap \mathbb{ℝ}$ e che $[\mathbb{Q}[\zeta]:\mathbb{Q}[\zeta+\zeta^{-1}]]=2$, di conseguenza $[\mathbb{Q}[\zeta+\zeta^{-1}]:\mathbb{Q}]=\frac{p-1}{2}$. Da questo punto in poi la mia idea ha qualche buco, vorrei dimostrare
1) $\mathbb{Q}[\zeta+\zeta^{-1}] | \mathbb{Q}$ è una estensione di Galois in modo tale da poter dire che tutte le $\frac{p-1}{2}$ immersioni sono reali
2) che l'anelli degli interi algebrici di $\mathbb{Q}[\zeta+\zeta^{-1}]$ è proprio $\mathbb{Z}[\zeta+\zeta^{-1}]$
Assumendo queste due cosa potrei affermare che
$$\mathbb{Z}[\zeta+\zeta^{-1}]ˣ \cong \mathbb{Z}^{\frac{p-1}{2}-1}$$
e da qui vorrei trovare un isomorfismo (che non so ancora bene come costruire) che mi possa dire
$(\zeta)\mathbb{Z}[\zeta+\zeta^{-1}]ˣ \cong \mu (\mathbb{Q}[\zeta]) \times \mathbb{Z}^{\frac{p-1}{2}]$
Come potrei risolvere questi dettagli?
Ovviamente ogni idea differente da questa sarebbe più che gradita.
Grazie in anticipo a tutti
L'esercizio in questione è:
Sia $\zeta$ una radice primitiva p-esima dell'unità con p numero primo. Mostrare che
$$\mathbb{Z}[\zeta]ˣ=(\zeta)\mathbb{Z}[\zeta+\zeta^{-1}]ˣ$$
La mia idea era di usare il teorema delle unità di Dirichlet. Dato che l'unica immersione reale di $\mathbb{Q}[\zeta]$ è l'identità risulta $\mathbb{Z}[\zeta]ˣ \cong \mu (\mathbb{Q}[\zeta]) \times \mathbb{Z}^{\frac{p-1}{2}]$
dove con $\mu (\mathbb{Q}[\zeta])$ indichiamo il gruppo delle radici dell'unità in $\mathbb{Q}[\zeta]$.
Ho dimostrato che $\mathbb{Z}[\zeta+\zeta ^{-1}]=\mathbb{Z}[\zeta] \cap \mathbb{ℝ}$ e che $[\mathbb{Q}[\zeta]:\mathbb{Q}[\zeta+\zeta^{-1}]]=2$, di conseguenza $[\mathbb{Q}[\zeta+\zeta^{-1}]:\mathbb{Q}]=\frac{p-1}{2}$. Da questo punto in poi la mia idea ha qualche buco, vorrei dimostrare
1) $\mathbb{Q}[\zeta+\zeta^{-1}] | \mathbb{Q}$ è una estensione di Galois in modo tale da poter dire che tutte le $\frac{p-1}{2}$ immersioni sono reali
2) che l'anelli degli interi algebrici di $\mathbb{Q}[\zeta+\zeta^{-1}]$ è proprio $\mathbb{Z}[\zeta+\zeta^{-1}]$
Assumendo queste due cosa potrei affermare che
$$\mathbb{Z}[\zeta+\zeta^{-1}]ˣ \cong \mathbb{Z}^{\frac{p-1}{2}-1}$$
e da qui vorrei trovare un isomorfismo (che non so ancora bene come costruire) che mi possa dire
$(\zeta)\mathbb{Z}[\zeta+\zeta^{-1}]ˣ \cong \mu (\mathbb{Q}[\zeta]) \times \mathbb{Z}^{\frac{p-1}{2}]$
Come potrei risolvere questi dettagli?
Ovviamente ogni idea differente da questa sarebbe più che gradita.
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
Dato che l'unica immersione reale di $QQ(\zeta)$ è l'identità ...
Il campo $QQ(\zeta)$ non ammette nessuna immersione in $RR$. Infatti, il rango del gruppo $ZZ[\zeta]^\times$ e'
$(p-3)//2$ invece di $(p-1)//2$.
Suggerimento: per $\epsilon\in ZZ[\zeta]^\times$ dimostrare che $\overline{\epsilon)//\epsilon$ e' una radice dell'unita'.
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