Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ho un dubbio su una questione che riguarda relazioni di ordine in un thread di Stack Exchange di economia, una domanda rimasta senza risposta, con però alcuni commenti sotto.
A me sembra che si stanno incartando, però è possibile che mi sto incartando io, può darsi che c'è qualcosa che mi confonde (tenendo presente che lì il livello non è basso, la maggior parte dei risponditori sono a livello di Phd).
Per cui chiedo un parere agli esimi algebristi qui presenti.
Una preferenza in economia è, ...
In logica matematica il teorema di compattezza per il calcolo proposizionale afferma che un insieme di proposizioni $\Sigma$ ha un modello se e solo se ciascun sottoinsieme finito di $\Sigma$ ha un modello.
Su Wikipedia c'è scritto che il teorema di compattezza deve il suo nome al fatto che è conseguenza del teorema di Tychonoff (il quale afferma che il prodotto di spazi topologici compatti è compatto rispetto alla topologia prodotto).
Come si può dimostrare il teorema ...
É possibile costruire un polinomio di grado generico $n$
a coefficienti razionali, che abbia come gruppo di Galois $S_n$?
Da quello che ho intuito il campo di spezzamento di tale polinomio le uniche funzioni razionali che dovrà contenere saranno quelle simmetriche elementari , giusto?
In particolare mi interesserebbe vedere per $n=4$.
Grazie!
In questo articolo https://mizar.unive.it/licalzi/GiocoCoppie.pdf viene esposto un gioco di accoppiamenti matrimoniali tra uomini e donne dove ognuno esprime una preferenza ordinando l'altro insieme dal più preferibile al meno preferibile.
Viene mostrato che esiste sempre almeno un sistema di accoppiappiamenti stabile (in equilibrio) dove non esiste alcuna nuova coppia dove entrambi i membri della nuova coppia stanno meglio rispetto a come stanno nel sistema di accoppiamenti in esame.
Mi sono chiesto che succede se si ...
Ho dimostrato l'identità di Dedekind, che è la seguente
"Siano $H,K,L$ sottogruppi di un gruppo $G$ tali che $HK=KH$ e $H<=L$. Allora $HKnnL=H(KnnL)$"
Poi viene aggiunto: "Inoltre $H$ e $KnnL$ sono permutabili"
Mi sono bloccato su questo... potreste aiutarmi?
Sia dato un universo di enti $D$ non vuoto, assumiamo che l'ente $dio$ sia quello che appartiene a tutti i sottoinsiemi positivi $S$ di $D$. Indichiamo in simboli che $S$ è positivo con $Pos(S)$.
Inoltre assumiamo queste tre premesse:
$1) \forall S, T \subseteq D, Pos(S) \wedge Pos(T) \rightarrow Pos(S \cap T)$
$2) \forall S \subseteq D, Pos(S) \rightarrow S \not = \emptyset$
$3) \forall S \subseteq D, Pos(S) \vee Pos(C(S))$
$1)$ per tutti gli $S$, $T$ inclusi in $D$, se ...
Ciao a tutti,
approfondendo la conclusione di Martino, che ringrazio nuovamente, al mio ultimo post, mi sono imbattuto in questa dimostrazione che però non riesco a comprendere fino in fondo. Qualcuno per favore può aiutarmi?
(Mi permetto di evidenziare la domanda in grassetto per far trovare subito la parte che interessa e far risparmiare tempo nella lettura di chi leggerà.)
Sia $\sigma \in A_n$ una permutazione che si scrive come prodotto di $r >= 1$ cicli disgiunti ...
Ciao a tutti, ho provato a risolvere il seguente esercizio, ma penso che esista un modo più rapido.
Consideriamo la permutazione $\sigma = (1, 2, 3) \in S_4$. Qual è la classe di coniugio a cui appartiene $\sigma$ in $A_4$?
Sono partito dal fatto che la classe di coniugio in $S_4$, $Cl(\sigma) = {s \sigma s^{-1} | s \in S_4}$ contiene tutti i 3-cicli. I 3-cicli dovrebbero essere le combinazioni di 4 numeri presi a 3 a 3 contati 2 volte: $2((4),(3)) = 8$. Sono quindi le 4 ...
Avrei un dubbio che mi è sorto svolgendo alcuni esercizi e sarebbe il seguente.
Non riesco a trovare un motivo per cui dato ord(g)=m finito, $<g> = <g^n> <=> g=(g^n)^t$, ed esiste tale t opportuno.
Es. pratico:
Sia ad esempio $Z_7={0,1,2,3,4,5,6}$ se prendo ad esempio $4$ ho che $2*4=8=1$ in effetti 1 genera $Z_7$ così come 4 lo genera e hanno stesso ordine, ma perché hanno stesso ordine 4 e 1, come lo deduco dall'asserto di cui sopra?
Mi incastro in particolare sul fatto ...
\( \newcommand{\abs}[1]{\lvert{#1}\rvert} \)Una cosa che non ho mai capito dei prodotti in certe categorie è questa.
Se \( \mathsf C \) è una categoria, e \( X,Y \) sono due oggetti di \( \mathsf C \), un prodotto di \( A \) per \( B \) è il dato di un diagramma \( A\leftarrow P\rightarrow B \) universale in senso opportuno tra tutti i diagrammi del genere.
Ora. In alcune categorie concrete, per il prodotto categoriale di due oggetti vale una proprietà simile, ma non uguale, alla proprietà ...
Salve ragazzi. Sto provando da un pò questo esercizio.
Provare che S4 ha tre sottogruppi di ordine 8.
Però mi sono bloccato. L'idea è quella di trovare un gruppo isomorfo ai sottogruppi di ordine 8 in S4. Però non saprei come sfruttare questa cosa per andare avanti.
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà.
Il teorema dice che un qualsiasi gruppo è isomorfo ad un gruppo di trasformazioni che a sua volta è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo di permutazioni. Cioè i gruppi di permutazioni esauriscono tutte le proprietà della teoria dei gruppi. Questo sembra molto interessante, ma poi si studiano sempre gruppi generici e raramente (almeno per quanto ne ho visto fin ora) si passa a studiare il chiamiamolo sottogruppo di permutazioni associato.
Mi ricorda un pò l'algebra lineare il teorema di ...
Ciao a tutti,
ho trovato che Il gruppo $GL(V)$ degli endomorfismi lineari invertibili di uno spazio vettoriale $V$ agisce sull'insieme $V$. Se $V$ ha anche una struttura euclidea, il gruppo $O(V)$ delle trasformazioni ortogonali agisce sulla sfera unitaria di $V$.
Il mio dubbio riguarda la seconda parte: non capisco perché il gruppo $O(V)$ che contiene tutte le trasformazioni ...
Un mio amico mi ha chiesto di spiegargli i numeri surreali, io a dire il vero non avevo mai sentito questi numeri
Ho letto un po' cosa sono su wikipedia anche perché non trovo nessuna referenza. Citando wikipedia c'è scritto
"wikipedia":If formulated in von Neumann–Bernays–Gödel set theory, the surreal numbers are a universal ordered field in the sense that all other ordered fields, such as the rationals, the reals, the rational functions, the Levi-Civita field, the superreal ...
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Studente Anonimo
27 lug 2022, 14:34
Buongiorno, in questo messaggio vorrei sottoporre alcune questioni che non mi sono chiare relativamente ad operazioni sull'anello degli interi di Gauss $ZZ$.
Precisamente, supponiamo di cercare il MCD tra i segg. elementi dell'anello:
$z_1 = 4 + 4i$ e $z_2 = -5 + 7i$.
Soluzione canonica (algoritmo euclideo)
In pratica, si utilizza l'algoritmo euclideo al caso in esame.
Risulta $||z_1||^2 = 32$ e $||z_2||^2 = 74$; dividiamo $z_2$ per $z_1$.
Dunque: ...
Salve a tutti,
ho una proposizione p:
$P$ : $AA b in R EE x in R$ ed $EE s in R : b-x^4-s^2=0$
ho scritto la sua negazione:
$not P$: $EE b in R AA x in R$ e $AA s in R : b-x^4-s^2!=0$
ora scrivo la prima come
$P$ : $x^4=s^2-b$
$not P$ : $b!=x^4+s^2$
ora a me sembrano entrambe vere , e so che è impossibile, io ragiono così: nella prima avro un $x^4 in R$ sicuramente uguale alla parte a destra , così come la seconda avrò un $b in R$ che ...
Buongiorno!
Qualcuno può provare questa identità:
\[\displaystyle \varphi=\frac{3}{2}+\cfrac{\frac{1}{4}}{2+\cfrac{1}{8+ \cfrac{3}{6+\cfrac{6}{ 16+\cfrac{10 }{ 10+\cfrac{15}{ 24+\cfrac{21}{\cdots}}}}}}} \]
dove \(\varphi\) denota il rapporto aureo.
Quanto scritto qui di seguito si basa sulla teoria spiegata sul testo della prof.ssa Piacentini Cattaneo, Algebra - Un approccio algoritmico - Decibel Zanichelli, Padova, 2017.
Consideriamo dunque un dominio euclideo del tipo $ZZ[sqrt(d)]$, dove d è un intero (positivo o negativo) non quadrato (in modo che $sqrt(d)$ non sia intero). Allora un elemento di $ZZ[sqrt(d)]$ si scrive come
$a + bsqrt(d)$, e la sua norma è definita come (cfr. cit. pag. 197): $N(a + bsqrt(d)) = a^2 - db^2$.
In ...
Ciao a tutti, sto cercando di capire come si determini se un polinomio in $\mathbb{Q}_p$ con $p$ primo sia irriducibile oppure no. Gli strumenti che ho a disposizione sono limitati in numero ma non in "capacità", nonostante ciò il quadro non mi è ancora totalmente chiaro. Gli strumenti che mi sono noti sono
1) Lemma di Hensel (sia in versione con la radice semplice sia nella versione con il prodotto di polinomi tra loro primi)
2) Lemma di Krasner con il criterio che ne deriva ...
Sia $A$ un dominio di integrità. Siano $a, b in A$ ed $n,m$ interi positivi coprimi. Dimostrare che se $a^n =b^n$ e $a^m = b^m$ allora $a=b$.
Se $n,m$ sono coprimi esistono interi $\alpha, \beta$ tali che $1=n\alpha + m\beta$ ...
Quindi abbiamo che se $a^{n} = b^{n}$ allora $a^{n\alpha} = b^{n\alpha}$ ovvero $a^{1-m\beta} = b^{1-m\beta}$. Siccome siamo in un dominio abbiamo che $a^{1-m\beta} = a * (a^{m})^{-\beta} = b * (b^{m})^{-\beta}$ ma per ipotesi so che $a^{m} = b^{m}$ da ...
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