Anello dei polinomi (in 2 variabli) quozientato isomorfo all'anello dei polinomi in 1 variabile.

[Sattolo]

Buonasera, non riesco a trovare da nessuna parte come dimostrare che:
Dato un campo \(\displaystyle K \), sia \(\displaystyle K[X, Y] \) l'anello dei polinomi e si consideri \(\displaystyle g(X)\in K[X] \) allora si ha:
\(\displaystyle K[X, Y]/(Y-g(X))\cong K[X] \)

Io ho iniziato a dimostrare che \(\displaystyle \varphi :K[X, Y]→K[X] : \varphi (f(X,Y))=f(X,g(X)) \) sia un omomorfismo suriettivo con \(\displaystyle Ker\varphi =(Y-g(X)) \) e poi per il teorema dell'omomorfismo avrei la tesi.

Procedendo ho tentato di dimostrare la doppia inclusione di nucleo ed ideale considerato ma non so bene come muovermi per dimostrare l'inclusione \(\displaystyle Ker\varphi \subseteq (Y-g(X)) \).
Ho tentato di effettuare una divisione tra il polinomio \(\displaystyle f(X, Y) \) e \(\displaystyle Y-g(X) \) sfruttando il fatto che \(\displaystyle f(X, g(X))=0 \) ma non mi viene in mente come mostrare che il resto di questa divisione sia nullo.
Spero che qualcuno sappia come aiutarmi

[megas_archon]

E' una risposta data senza fare conti, ma se $r$ è il resto della divisione allora $r(X, g(X))=0$; ma allora ridividi, e siccome il grado di $r$ a un certo punto deve arrivare a zero...