Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Gentili utenti del forum,
è corretto lo svolgimento del seguente problema di calcolo combinatorio?
Problema:
In quanti modi si possono mettere in fila 7 palline bianche e 5 palline nere se non possiamo collocare due palline nere una accanto all'altra?
Svolgimento:
Tra ogni pallina nera e quella seguente deve esserci almeno una pallina bianca, quindi cominciamo col mettere in fila le 5 palline nere, separandole con 4 palline bianche, nel modo seguente:
\[N \quad B \quad N \quad B \quad N ...
Gentili utenti del forum, vi chiedo aiuto con il seguente esercizio:
Dimostrare per induzione che \(\forall n \in \mathbb{N}\quad n^3 + 5n\) è multiplo di 6
Svolgimento:
1. Passo base
Per n = 0
\( n^3 + 5n = 0^3 + 5\cdot0=0 \) che è multiplo di 6
2. Passo induttivo
Dobbiamo dimostrare che:
\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad n^3 + 5n = 6m \Longrightarrow (n+1)^3+5(n+1)=6p\]
con \(m\) e \(p\) interi qualsiasi
Poniamo il primo membro della tesi nella seguente forma:
\[n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 5n ...
Buongiorno.
Ho un dubbio sul seguente simbolo: Siano $A,B$ insiemi, qual'è il significato di \(\displaystyle A\not\subset B \)?
Ho provato a fare questo ragionamento
$AsubsetB\iff A\subseteqB$, e \(\displaystyle A\ne B \).
Questo \(\displaystyle A\not\subset B \) significare negare la precedente, dunque, dovrebbe essere
\(\displaystyle A\not\subset B \iff A\not\subseteq B \), e \(\displaystyle A = B \), cioè $A=B$
Corretto ?
Sia \(G\) un gruppo. Dimostra che esiste un sottogruppo normale massimale che è amenabile e che è unico. Chiamiamo questo sottogruppo \( \operatorname{Ramen}(G) \) il radicale amenabile di \(G\). Dimostra che il radicale amenabile di \(G/\operatorname{Ramen}(G) \) è banale.
Riesco a dimostrare l'unicità ma non l'esistenza del gruppo radicale. Inoltre non mi è molto chiaro come possa dimostrare che \( \operatorname{Ramen}\left( G/\operatorname{Ramen}(G) \right) \) è banale.
Per ...
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Studente Anonimo
7 nov 2022, 15:47
Ciao a tutti,
dovrei dimostrare che il sottogruppo H di \(\displaystyle S_9 \) generato da \(\displaystyle (1 \ 3 \ 4 \ 7)(2\ 5\ 8) \) è ciclico.
Tuttavia non riesco ad effettuare questa dimostrazione. L'unico modo per poterla completare è applicare la definizione e quindi calcolare tutti i 12 elementi di H per poi verificare che sono tutti potenze del generatore?
Grazie
[xdom="j18eos"]Sposto in "Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta.[/xdom]
Se $A$ è euclideo e $I$ un ideale non nullo allora $I$ è contenuto in un numero finito di ideali.
Allora poichè $A$ è euclideo allora è un PID, e quindi ogni suo ideale è principale. Quindi bisogna vedere che $(d_1)sube(d_2)$, $(d_1)sube(d_3)$, $...$ ha una "fine". Il caso particolare in cui $(d_1)sube(d_2)sube(d_3)sube...$ l'ho fatto, però il caso in cui non si crea questa catena di ideali non so bene dove procedere, qualche idea?
In un campo finito se $a$ e $b$ non sono quadrati allora $ab$ è un quadrato.
Siccome siamo in un campo finito, preso $a$ un elemento del campo abbiamo che poichè il campo è finito ogni suo elemento può essere scritto come potenza $a$. Inoltre osserviamo che se $c$ è un quadrato e $d$ non è quadrato allora $cd$ non è un quadrato (se per assurdo lo fosse avremmo $x^2d=y^2$ con ...
\( \newcommand{\sand}{\mathrel{\&}} \)Voglio introdurre un connettivo \( \& \) tra le proposizioni in maniera tale che, dato un contesto \( \Gamma \), valga l'equazione definitoria
\[
\text{\( \Gamma\vdash A\sand B \) se e solo se \( \Gamma\vdash A \) e \( \Gamma\vdash B \)}
\] per ogni proposizioni \( A \) e \( B \).
Mi si dice che in una direzione posso dare la regola
\[
\frac{\Gamma\vdash A\qquad \Gamma\vdash B}{\Gamma\vdash A\sand B}
\] mentre nell'altra non si può semplicemente mettere ...
Un linguaggio predicativo di solito è definito come il dato di 1) parentesi (\( ( \) e \( ) \)), 2) connettivi vari (\( {\land} \), \( \rightarrow \), ecc.), 3) quantificatori (\( {\forall} \), \( {\exists} \)) e 4) un'infinità numerabile di "variabili" (\( x_1,x_2,\dots \)). A questi quattro punti talvolta sono aggiunti 5) dei segni di funzione \( n \)-aria per (\( f_1^n,f_2^n,\dots \)) per \( n = 1,2,\dots \) e 6) dei segni di relazione \( n \)-ara.
I termini di un linguaggio predicativo ...
Volevo chiedere una cosa a chi ha dimestichezza con questi argomenti.
Abbiamo un linguaggio adeguato con connettivi proposizionali (che rappresentano funzioni di verità) per rappresentare tutte le funzioni di verità e un'infinità di variabilili $Var = {P, Q, R, S, P_1, Q_1, R_1, S_1, P_2, ...}$ per formare formule ad esempio come...
$((P => Q) => not P)$, $not P$, $(P => not R)$, ...
Mentre $I$ è l'insieme delle interpretazioni sulle variabili del linguaggio; un'interpretazione è una funzione ...
Mostrare che se $d > 1$ è un intero dispari allora $ZZ[sqrt(−d)]$ contiene elementi irriducibili che non sono primi.
Mi sembra che la strada sia quella di trovare un irriducibile che non è primo, per esempio in $ZZ[sqrt(−5)]$ ho che $1+\epsilon$ è irriducibile ma non primo(con $\epsilon=sqrt(−5))$ però in generale non riesco a trovarne uno, qualche consiglio?
Gentili utenti del forum,
come da titolo vorrei un chiarimento sulla definizione di insieme numerabile.
Sui testi ne ho trovate due diverse:
1) Un insieme si dice numerabile se può essere posto in corrispondenza biunivoca con $\mathbb{N}$
2) Un insieme si dice numerabile se è finito oppure può essere posto in corrispondenza biunivoca con $\mathbb{N}$
Grazie
Dare una descrizione esplicita dell’ideale generato da un sottoinsieme $S$ di un anello non unitario $A$.
$A$ fosse unitario questo ideale sarebbe $I={a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$ ed $a_1,...,a_ninA}$.
Nel caso non unitario ho pensato di usare $I={a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$ ed $a_1,...,a_ninA}+S$.
Infatti per definizione di ideale $I$ generato da un sottoinsieme (ovvero l'intersezione degli ideali che contengono $S$) si ha che ${a_1s_1+...+a_ns_n|s_1,...,s_ninS$ ed ...
Sia $A=ZZ_(/5)[X]_(/(x^2-2x))$. Determinare il sottoanello fondamentale di $A$.
Siccome $ZZ_(/5)subA$ se considero $\varphi$ l'omomorfismo fondamentale da $ZZ$ ad $A$ tale che $\varphi(z)=[z]_5$ con $zinZZ$. Quindi il sottoanello fondamentale di $A$ è proprio $ZZ_(/5)$. Dovrebbe andare bene giusto?
Salve, sto facendo un test psico attitudinale e probabilmente il mio cervello è alquanto limitato, ma non riesco a capire perchè la soluzione al seguente quiz è 11..
Una corda di 40 metri viene tagliata in 2 spezzoni. Se un pezzo è 18 metri più lungo dell'altro, qual è la lunghezza dello spezzone più corto?
Grazie in anticipo
Un insieme si dice amorfo se è infinito ma non è unione disgiunta di due insiemi infiniti.
Nel libro The Axiom of Choice di T. Jech viene presentato un modello di ZFA (teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con atomi) in cui l'insieme A degli atomi è un insieme amorfo.
Vorrei sapere se esistono modelli di ZF (teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel) in cui esistono insiemi amorfi. Qualcuno di voi ha per caso visto questo risultato da qualche parte?
Determinare, se possibile, un ideale $I$ di $ZZ[X]$ tale che $ZZ[X]_(/I)$ è isomorfo a $ZZ_(/2)$.
Allora io pensavo appunto di sfruttare il primo teorema fondamentale dell'omomorfismo per anelli dove se mostro che esiste un omomorfismo non nullo $\varphi:ZZ[X]->ZZ_(/2)$ allora l'ideale che cerco corrisponde proprio con $Ker\varphi$, il problema ho provato più volte a costruire un tale omomorfismo ma non ne sono ancora riuscito a trovare nessuno. Avevo pensato ...
Buonasera a tutti!
Vorrei cortesemente capire come possa dimostrare la seguente proposizione:
Siano A e B insiemi. Provare che: [tex]A \backslash (A \backslash B) = A \cap B[/tex]
Ho una possibile risposta ma premetto che non conosco il metodo giusto per dimostrare una proposizione del genere, per questo motivo dubito altamente che sia corretta, anzi, credo che contenga molti errori, ve la mostro di seguito:
se: [tex]A \cap B + (A \backslash B) = A[/tex] allora [tex]A \backslash (A ...
Ho notato che il binomiale $((n-1),(-1))=0$, volevo sapere se ci fosse un motivo preciso per cui vale questo.
Buonasera amici.
Sto studiando la teoria di Galois e mi sono imbattuto, nel caso infinito, nella struttura di gruppo profinito. La riscrivo qui:
Un gruppo profinito $G$ è un gruppo topologico compatto, hausdorff e tale che i sottogruppi normali siano una base di intorni di 1 (elemento neutro di $G$).
Un gruppo topologico è un gruppo con una topologia che rende continua la moltiplicazione e l'inverso.
Bene, ora che siamo d'accordo sulle definizioni (a volte non ...
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