[EX] Nilpotenza

[spugna2]

Sia $(G,+)$ un $p$-gruppo abeliano finito (dove $p$ è un numero primo) e sia $\varphi$ un automorfismo di $G$ il cui ordine è una potenza di $p$. Si dimostri che $\varphi-\text{id}_G$ è un endomorfismo nilpotente di $G$.

[j18eos]

Che intendi per nilpotente?

[megas_archon]

"j18eos":Che intendi per nilpotente?

Algebra lineare. Un endomorfismo \(\varphi\) di un $R$-modulo $M$ è nilpotente quando esiste un $n\ge 1$ tale che \(\varphi^n = 0\).

Ci ho pensato un po', ma non ho trovato niente di interessante da dire. Che dici, OP, un aiuto?

[j18eos]

@megas_archon Sì, ma l'OP afferma anche che \(\displaystyle\varphi\) è un automorfismo... dov'è la confusione?

[megas_archon]

Infatti ad essere nilpotente è \(\varphi-1\)...

[spugna2]

"megas_archon":Ci ho pensato un po', ma non ho trovato niente di interessante da dire. Che dici, OP, un aiuto?

Hint 1:

Dimostrare che esiste un $m$ tale che l'immagine di $(\varphi-\text{id})^m$ è contenuta in $pG$

Hint 2:

Cosa si può dire sull'automorfismo $\overline{\varphi}$ indotto sul quoziente $G/{pG}$?