Invertibili in $ZZ[sqrtd]$
Buonasera, sto studiando il dominio di integrità $ZZ[sqrtd]$, in particolare i suoi elementi invertibili.
Per fare ciò la prof. ha introdotto la norma di $alpha in ZZ[sqrtd]$ ossia,
$alpha=a+bsqrtd, \ \ a, b in ZZ$ e si è focalizzata su $d<0$, inoltre definisco $N(alpha)=a^2-db^2$
La prof. per dimostrare che un elemento è invertibile ha dimostrato la seguente proposizione:
In tal caso, per come è stata definita, è positiva; quindi, la norma è necessariamente un elemento dei naturali e deve essere invertibile, cioè la tesi è
Dopodiché, procede nella seguente maniera
$exists alpha$ invertible $<=>^(def) exists beta$ in $ZZ[sqrtd]$ tale che $alphabeta=1<=> N(alphabeta)=N(1)=1<=>N(alpha)N(beta)=1$
quindi, per i discorsi fatti $N(alpha)$ è invertibile in $NN$ ed è $1$, quindi si ha la tesi.
Nella catena ho una difficolta a capire perché è valida l'implicazione $N(alphabeta)=N(1) => alphabeta=1.$
Mi sono dato anche una mezza risposta:
$alpha, beta in ZZ[sqrtd] to alphabeta in ZZ[sqrtd] => exists a, b in ZZ \ \ : \ \ alphabeta=a+bsqrtd$, quindi ottengo $N(alpha)=a^2-db^2=1$ allora necessariamente $a^2=1, \ \ b^2=0 to a=pm1, \ \ b=0$
Dunque, $alphabeta=pm1$.
Allora rimane da escludere il caso $a=-1$ ma non so come procedere.
Per fare ciò la prof. ha introdotto la norma di $alpha in ZZ[sqrtd]$ ossia,
$alpha=a+bsqrtd, \ \ a, b in ZZ$ e si è focalizzata su $d<0$, inoltre definisco $N(alpha)=a^2-db^2$
La prof. per dimostrare che un elemento è invertibile ha dimostrato la seguente proposizione:
$alphane 0$ invertibile in $ZZ[sqrtd]$ se e solo se lo è $N(alpha)$ in $ZZ$.
In tal caso, per come è stata definita, è positiva; quindi, la norma è necessariamente un elemento dei naturali e deve essere invertibile, cioè la tesi è
$alphane0$ invertibile in $ZZ[sqrtd]$ se e solo se lo è $N(alpha)=1$.
Dopodiché, procede nella seguente maniera
$exists alpha$ invertible $<=>^(def) exists beta$ in $ZZ[sqrtd]$ tale che $alphabeta=1<=> N(alphabeta)=N(1)=1<=>N(alpha)N(beta)=1$
quindi, per i discorsi fatti $N(alpha)$ è invertibile in $NN$ ed è $1$, quindi si ha la tesi.
Nella catena ho una difficolta a capire perché è valida l'implicazione $N(alphabeta)=N(1) => alphabeta=1.$
Mi sono dato anche una mezza risposta:
$alpha, beta in ZZ[sqrtd] to alphabeta in ZZ[sqrtd] => exists a, b in ZZ \ \ : \ \ alphabeta=a+bsqrtd$, quindi ottengo $N(alpha)=a^2-db^2=1$ allora necessariamente $a^2=1, \ \ b^2=0 to a=pm1, \ \ b=0$
Dunque, $alphabeta=pm1$.
Allora rimane da escludere il caso $a=-1$ ma non so come procedere.
Risposte
Ciao, scusa ma gli invertibili in $ZZ$ sono $1$ e $-1$. Sembri procedere dall'assunto falso che l'unico invertibile in $ZZ$ sia $1$.
Comunque non devi mostrare che se $N(alpha beta)=1$ allora $alpha beta=1$ (cosa falsa, prendi per esempio $alpha=1$, $beta=-1$). Devi dimostrare che se $N(alpha)=1$ allora $alpha$ è invertibile.
Ora stavo per rispondere, sembra di aver capito l'idea.
Giusto per chiarezza riporto la proposizione e suddivido la dimostrazione in due parti.
Sia $(ZZ[sqrtd], +, **)$ dominio di integrità unitario, con unità $1_(ZZ)$
Sia $alpha in ZZ[sqrtd] => exists a, b in ZZ \ \ : \ \ alpha=a+bsqrtd$
Definisco la norma di $alpha$ come la quantità $N(alpha)=a^2-db^2.$
Proposizione:
$alphane0$, $d in ZZ$
$alpha$ invertibile in $ZZ[sqrtd]<=> $ la $ N(alpha)$ è invertibile in $ZZ$
Dimostrazione:
Sia $alpha$ invertibile, allora esiste un $beta in ZZ[sqrtd]$ per cui $alphabeta=1$, allora si ha $N(alphabeta)=N(1)$, dunque
i) $N(alphabeta)=N(alpha)N(beta)$
ii)$1=1+0sqrtd$ e quindi $N(1)=1$
allora $N(alphabeta)=N(1)<=>N(alpha)N(beta)=1$, in particolare $1=N(alpha)N(beta)=N(beta)N(alpha)$ essendo prodotto tra interi e quindi sono permutabili, da questo segue che $N(alpha)$ è invertibile in $ZZ$
Sia $alpha=a+bsqrtd$ e considero $beta:=aN(alpha)^(-1)-bN(alpha)^(-1)sqrtd $ il quale è un elemento di $ZZ[sqrtd]$
Si ha
$alphabeta=(a+bsqrtd)(aN(alpha)^(-1)-bN(alpha)^(-1)sqrtd)$
$\ \qquad=aaN(alpha)^(-1)+a(-b)N(alpha)^(-1)sqrtd+bsqrtdaN(alpha)^(-1)+bsqrtd(-b)N(alpha)^(-1)sqrtd$
$\ \qquad=(a^2-db^2)N(alpha)^(-1)$
$\ \qquad=N(alpha)N(alpha)^(-1)$
$\ \qquad=1$
Quindi $alpha$ è invertibile e il suo inverso è $beta$
Giusto per chiarezza riporto la proposizione e suddivido la dimostrazione in due parti.
Sia $(ZZ[sqrtd], +, **)$ dominio di integrità unitario, con unità $1_(ZZ)$
Sia $alpha in ZZ[sqrtd] => exists a, b in ZZ \ \ : \ \ alpha=a+bsqrtd$
Definisco la norma di $alpha$ come la quantità $N(alpha)=a^2-db^2.$
Proposizione:
$alphane0$, $d in ZZ$
$alpha$ invertibile in $ZZ[sqrtd]<=> $ la $ N(alpha)$ è invertibile in $ZZ$
Dimostrazione:
Sia $alpha$ invertibile, allora esiste un $beta in ZZ[sqrtd]$ per cui $alphabeta=1$, allora si ha $N(alphabeta)=N(1)$, dunque
i) $N(alphabeta)=N(alpha)N(beta)$
ii)$1=1+0sqrtd$ e quindi $N(1)=1$
allora $N(alphabeta)=N(1)<=>N(alpha)N(beta)=1$, in particolare $1=N(alpha)N(beta)=N(beta)N(alpha)$ essendo prodotto tra interi e quindi sono permutabili, da questo segue che $N(alpha)$ è invertibile in $ZZ$
Sia $alpha=a+bsqrtd$ e considero $beta:=aN(alpha)^(-1)-bN(alpha)^(-1)sqrtd $ il quale è un elemento di $ZZ[sqrtd]$
Si ha
$alphabeta=(a+bsqrtd)(aN(alpha)^(-1)-bN(alpha)^(-1)sqrtd)$
$\ \qquad=aaN(alpha)^(-1)+a(-b)N(alpha)^(-1)sqrtd+bsqrtdaN(alpha)^(-1)+bsqrtd(-b)N(alpha)^(-1)sqrtd$
$\ \qquad=(a^2-db^2)N(alpha)^(-1)$
$\ \qquad=N(alpha)N(alpha)^(-1)$
$\ \qquad=1$
Quindi $alpha$ è invertibile e il suo inverso è $beta$
Può funzionare ?
Sì certo.
Comunque devi assumere qualcosa su $d$, tipo che non sia un quadrato o che sia square-free, altrimenti hai problemi di non unicità della scrittura $a+b sqrt(d)$ e quindi di non buona definizione della norma.
Si hai ragione la professoressa l'ha assunto, cioè ha posto $d in ZZ $ tale che non esiste nessun intero $l$ per cui $d=l^2$
ma non ha specificato il senso...grazie !!
Esempio:
$d=4 => sqrt 4 =2$, dopodiché si ha $0+3*2=6=6+0*2$ quindi la scrittura non è unica.
Adesso questa cosa si può formalizzare?
ma non ha specificato il senso...grazie !!
Esempio:
$d=4 => sqrt 4 =2$, dopodiché si ha $0+3*2=6=6+0*2$ quindi la scrittura non è unica.
Adesso questa cosa si può formalizzare?
Sì la scrittura $a+b sqrt(d)$ è unica se e solo se $d$ non è un quadrato. Puoi provare a dimostrarlo.
Martino buongiorno.
Penso che l'implicazione da sinistra verso destra e cioè $a+bsqrtd$ è unica allora $d$ non è un quadrato, si può dimostrare per assurdo esibendo un esempio come ho fatto prima.
Invece per l'altra ho provato così:
hp: $d in ZZ$ per cui non esiste nessun intero $l$ tale $d=l^2$.
th: $a+bsqrtd$ è unica.
Per assurdo la scrittura non è unica, cioè si ha $a+bsqrtd=a'+b'sqrtd$ dove $a,b,a',b' in ZZ$ e $anea', \ \ bne b'$.
Dunque si ha $sqrtd=((a'-a)/(b-b'))$, per qui $d=((a'-a)/(b-b'))^2$, pertanto esite $l' in ZZ \ \ : \ \ l'=(a'-a)/(b-b')$ e il suo quadrato coincide con $d$ e quindi si ha un assurdo.
Penso che l'implicazione da sinistra verso destra e cioè $a+bsqrtd$ è unica allora $d$ non è un quadrato, si può dimostrare per assurdo esibendo un esempio come ho fatto prima.
Invece per l'altra ho provato così:
hp: $d in ZZ$ per cui non esiste nessun intero $l$ tale $d=l^2$.
th: $a+bsqrtd$ è unica.
Per assurdo la scrittura non è unica, cioè si ha $a+bsqrtd=a'+b'sqrtd$ dove $a,b,a',b' in ZZ$ e $anea', \ \ bne b'$.
Dunque si ha $sqrtd=((a'-a)/(b-b'))$, per qui $d=((a'-a)/(b-b'))^2$, pertanto esite $l' in ZZ \ \ : \ \ l'=(a'-a)/(b-b')$ e il suo quadrato coincide con $d$ e quindi si ha un assurdo.
Sì ma devi discutere anche i casi $a=a', b ne b'$ e $a ne a', b=b'$ (che sono quasi ovvi ma vanno discussi). Inoltre per concludere devi mostrare che se un intero è il quadrato di un razionale allora tale razionale è in realtà intero (anche questo è praticamente ovvio ma va scritto).
Penso così:
i) $a=a', \ \ bneb'$
$a+bsqrtd=a'+b'sqrtd => a'-a=(b-b')sqrtd=>((a'-a)/(b-b'))=sqrtd=>((a'-a)/(b-b'))^2=d$,
essendo $a=a'$, segue che l'intero $0$ soddisfi l'ultima uguaglianza. Per cui siamo ad un assurdo.
ii) $anea', \ \ b=b'$
si dimostra come al caso i), infatti riesco a riscrivere $d=((b-b')/(a'-a)d)^2$, essendo $b=b'$, segue che l'intero $0$ soddisfi l'ultima uguaglianza. Per cui siamo ad un assurdo.
Invece l'altra richiesta non ho ben capito cosa devo far vedere.
Ad ora abbiamo dimostrato l'implicazione da dx verso sx, quindi devo far vedere che vale anche l'altra, cioè che se la scrittura è unica allora necessariamente $d$ non è un quadrato.
Cosa c'entra la condizione dei numeri razionali.
i) $a=a', \ \ bneb'$
$a+bsqrtd=a'+b'sqrtd => a'-a=(b-b')sqrtd=>((a'-a)/(b-b'))=sqrtd=>((a'-a)/(b-b'))^2=d$,
essendo $a=a'$, segue che l'intero $0$ soddisfi l'ultima uguaglianza. Per cui siamo ad un assurdo.
ii) $anea', \ \ b=b'$
si dimostra come al caso i), infatti riesco a riscrivere $d=((b-b')/(a'-a)d)^2$, essendo $b=b'$, segue che l'intero $0$ soddisfi l'ultima uguaglianza. Per cui siamo ad un assurdo.
Invece l'altra richiesta non ho ben capito cosa devo far vedere.
Ad ora abbiamo dimostrato l'implicazione da dx verso sx, quindi devo far vedere che vale anche l'altra, cioè che se la scrittura è unica allora necessariamente $d$ non è un quadrato.
Cosa c'entra la condizione dei numeri razionali.
Stai supponendo che $d$ non sia il quadrato di un intero.
Nei tuoi argomenti arrivi a una cosa del tipo $d=q^2$ dove $q=(a-a')/(b-b')$ (che è, nota bene, un numero razionale). Da qui deduci un assurdo. Ma l'uguaglianza $d=q^2$ contraddice la tua ipotesi solo se $q$ è intero. Quindi devi mostrare che $q$ è intero.
Nei tuoi argomenti arrivi a una cosa del tipo $d=q^2$ dove $q=(a-a')/(b-b')$ (che è, nota bene, un numero razionale). Da qui deduci un assurdo. Ma l'uguaglianza $d=q^2$ contraddice la tua ipotesi solo se $q$ è intero. Quindi devi mostrare che $q$ è intero.
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