Linguaggio del primo ordine

[Studente Anonimo]

Perché nella definizione di linguaggio del primo ordine si richiede che vi sia un insieme di funzioni \( \{ f_i^{n_i} \} \) dove \(n_i \) è la sua arietà che può essere qualunque ma finita, e si richiede anche un insieme di relazioni (o predicati) \( \{ R_i^{m_i} \} \) dove \(m_i \) è la sua arietà. Se non sbaglio ad ogni relazione \(R\) di arietà \(m\) gli corrisponde una funzione di arietà \(m-1\) e viceversa.

[otta96]

No, vale solo in una direzione, ad una funzione $n$-aria corrisponde (nel senso che È) una relazione $n+1$-aria, ma il viceversa non vale (nemmeno a voler intendere le funzioni anche solo come parziali).
Il problema rimane, "allora perchè non si chiede che esistano solo le relazioni"? Beh, è una cosa dovuta semplicemente alla "tradizione", in cui si tende a trattare le funzioni come se non fossero la relazione di cui parla la definizione.
A me è stato detto anche che nella teoria ci sono le costanti, ma pure quelle sono interpretabili come funzioni, dunque come relazioni, ma in fondo è una cosa su cui non vale la pena pensarci più di tanto.