Equazioni su campi finiti
Come posso provare che nel campo finito $\mathbb{F}_{q^n}$ l'equazione
$$
ay_1^{q^m}y_2-by_2^{q^m}y_1=0
$$
ha come soluzioni in $(y_1,y_2)$ la sottoretta proiettiva $PG(1,q)$ se $(\frac{a}{b})^{(q^n-1)/(q-1)}=1$ oppure $(1,0)$ e $(0,1)$ se $(\frac{a}{b})^{(q^n-1)/(q-1)} \ne 1$,
con $m$ tale che $MCD(m,n)=1$ e $ab \ne 0$?
$$
ay_1^{q^m}y_2-by_2^{q^m}y_1=0
$$
ha come soluzioni in $(y_1,y_2)$ la sottoretta proiettiva $PG(1,q)$ se $(\frac{a}{b})^{(q^n-1)/(q-1)}=1$ oppure $(1,0)$ e $(0,1)$ se $(\frac{a}{b})^{(q^n-1)/(q-1)} \ne 1$,
con $m$ tale che $MCD(m,n)=1$ e $ab \ne 0$?
Risposte
Cosa vuol dire "come trovo le soluzioni"? Vuoi un algoritmo?
"pigrecoedition":
Come posso provare che nel campo finito $\mathbb{F}_{q^n}$ l'equazione
$$
ay_1^{q^m}y_2-by_2^{q^m}y_1=0
$$
ha come soluzioni in $(y_1,y_2)$ la sottoretta proiettiva $PG(1,q)$ se $(\frac{a}{b})^{(q^n-1)/(q-1)}=1$ oppure $(1,0)$ e $(0,1)$ se $(\frac{a}{b})^{(q^n-1)/(q-1)} \ne 1$,
con $m$ tale che $MCD(m,n)=1$ e $ab \ne 0$?
Ho riformulato il problema
Assumi $y_1y_2\ne 0$ (e $ab\ne 0$ altrimenti il problema è banale). Allora ti trovi a risolvere \(y^{q^m-1}=b/a\), con \(y=y_1/y_2\). Quando \(b/a\) è una potenza $(q^m-1)$-esima? Esattamente quando è una potenza $(q-1)$-esima. Infatti una direzione è ovvia, mentre se è una potenza $(q-1)$-esima, siccome $\gcd(q^m-1,q^n-1)=q-1$ allora dev'essere anche una potenza $(q^m-1)$-esima, dal momento che tutti gli elementi di $\mathbb F_{q^n}$ sono potenze \((q^m-1)/(q-1)\)-esime. Quindi una soluzione esiste se e solo se \((b/a)^{(q^n-1)/(q-1)}=1\). D'altronde quando una soluzione esiste le altre differiscono per una radice $(q-1)$-esima di $1$.
"hydro":
Assumi $y_1y_2\ne 0$ (e $ab\ne 0$ altrimenti il problema è banale). Allora ti trovi a risolvere \(y^{q^m-1}=b/a\), con \(y=y_1/y_2\). Quando \(b/a\) è una potenza $(q^m-1)$-esima? Esattamente quando è una potenza $(q-1)$-esima. Infatti una direzione è ovvia, mentre se è una potenza $(q-1)$-esima, siccome $\gcd(q^m-1,q^n-1)=q-1$ allora dev'essere anche una potenza $(q^m-1)$-esima, dal momento che tutti gli elementi di $\mathbb F_{q^n}$ sono potenze \((q^m-1)/(q-1)\)-esime. Quindi una soluzione esiste se e solo se \((b/a)^{(q^n-1)/(q-1)}=1\). D'altronde quando una soluzione esiste le altre differiscono per una radice $(q-1)$-esima di $1$.
Ti ringrazio per la risposta. Potresti consigliarmi un testo di algebra per approfondire la teoria sui campi finiti?
Eh buona domanda. Non mi ricordo bene dove l'ho imparata io, ma sicuramente diversi libri di algebra per il triennio ne parlano. Hai provato a guardare l'Herstein ad esempio? Altrimenti se hai tempo c'è l'Handbook of Finite Fields di Mullen e Panario, non spiega la teoria ma contiene tutto quello che vuoi sapere ed anche molto di più con tanto di riferimenti bibliografici.
Dato che l'equazione ha come soluzione la sottoretta $\PG(1,q)$ quando $(\frac{a}{b})^{\frac{q^n-1}{q-1}}=1$, segue che $a=b$?
No.
Ho questo sistema di equazioni
\begin{cases}
ay_2^{q^m}y_3-by_3^{q^m}y_2=0 \\ ay_2^{q^m}y_4-cy_4^{q^m}y_2=0 \\by_3^{q^m}y_4-cy_4^{q^m}y_3=0
\end{cases}
con $abc \ne 0$, $(\frac{a}{b})^{\frac{q^n-1}{q-1}} \ne 1$, $(\frac{a}{c})^{\frac{q^n-1}{q-1}} \ne 1$, $(\frac{b}{c})^{\frac{q^n-1}{q-1}}=1$. Ha come soluzioni in $(y_2,y_3,y_4) \in \PG(2,q^n)$ o il punto $(1,0,0)$ se $b \ne c$ o i punti $(1,0,0)$ e $(0,1,1)$ se $b=c$. Giusto?
\begin{cases}
ay_2^{q^m}y_3-by_3^{q^m}y_2=0 \\ ay_2^{q^m}y_4-cy_4^{q^m}y_2=0 \\by_3^{q^m}y_4-cy_4^{q^m}y_3=0
\end{cases}
con $abc \ne 0$, $(\frac{a}{b})^{\frac{q^n-1}{q-1}} \ne 1$, $(\frac{a}{c})^{\frac{q^n-1}{q-1}} \ne 1$, $(\frac{b}{c})^{\frac{q^n-1}{q-1}}=1$. Ha come soluzioni in $(y_2,y_3,y_4) \in \PG(2,q^n)$ o il punto $(1,0,0)$ se $b \ne c$ o i punti $(1,0,0)$ e $(0,1,1)$ se $b=c$. Giusto?
Non si capisce quale sia la domanda, comunque mi sembra semplice, applica quello che hai scritto nel primo post ad ogni equazione e lo scoprirai, no?
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