Dimostrazione proprietà fattoriale
Spero innanzitutto di non avere sbagliato sezione. In caso lo avessi fatto chiedo scusa in anticipo!
Il problema è questo:
dimostrare che per ogni $a>=2$ vale:
$a^a!>=a^(a^a)$
Utilizzo l'induzione: lo dimostro per $a=2$ e suppongo che sia vero per $a$.
Qualche aiuto (suggerimento di qualche proprietà che evidentemente mi sfugge) per per dimostrare che vale per $a+1$?
Grazie!!
Il problema è questo:
dimostrare che per ogni $a>=2$ vale:
$a^a!>=a^(a^a)$
Utilizzo l'induzione: lo dimostro per $a=2$ e suppongo che sia vero per $a$.
Qualche aiuto (suggerimento di qualche proprietà che evidentemente mi sfugge) per per dimostrare che vale per $a+1$?
Grazie!!
Risposte
Provo a scrivere la disuguaglianza per $a+1$:
$(a+1)^{a+1} ! >= (a+1)^{(a+1)^{a+1}}$
Metto ad entrambi i membri un logaritmo in base $a+1$ (che sottintendo per questioni di pulizia grafica):
$log{(a+1)^{a+1}} + log{(a+1)^{a+1} -1} + ... >= log{ (a+1)^{(a+1)^{a+1}} }$
$a+1 + log{(a+1)^{a+1} -1} + ... >= (a+1)^{a+1} $
Il primo membro contiene $(a+1)^{a+1}$ addendi che sono punti della funzione concava (facile da verificare) $f(x) = log{(k-x)}$ con $k=(a+1)^{a+1}$. I punti appartengono al lato decrescente della funzione e sono tutti positivi ed equispaziati in $x$, quindi la loro media è superiore alla metà del massimo (ragionamento di ispirazione grafica), dunque:
$a+1 + log{(a+1)^{a+1} -1} + ... >= (a+1)^{a+1} * (a+1)/2 >= (a+1)^{a+1}$
Se non ho fatto errori, la dimostrazione è conclusa. In ogni caso non mi è sembrata affatto facile.
$(a+1)^{a+1} ! >= (a+1)^{(a+1)^{a+1}}$
Metto ad entrambi i membri un logaritmo in base $a+1$ (che sottintendo per questioni di pulizia grafica):
$log{(a+1)^{a+1}} + log{(a+1)^{a+1} -1} + ... >= log{ (a+1)^{(a+1)^{a+1}} }$
$a+1 + log{(a+1)^{a+1} -1} + ... >= (a+1)^{a+1} $
Il primo membro contiene $(a+1)^{a+1}$ addendi che sono punti della funzione concava (facile da verificare) $f(x) = log{(k-x)}$ con $k=(a+1)^{a+1}$. I punti appartengono al lato decrescente della funzione e sono tutti positivi ed equispaziati in $x$, quindi la loro media è superiore alla metà del massimo (ragionamento di ispirazione grafica), dunque:
$a+1 + log{(a+1)^{a+1} -1} + ... >= (a+1)^{a+1} * (a+1)/2 >= (a+1)^{a+1}$
Se non ho fatto errori, la dimostrazione è conclusa. In ogni caso non mi è sembrata affatto facile.
Propongo un'altra soluzione.
E' facile vedere che sussiste la disuguaglianza
\(\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n^n}\leq n^{n-1}\)
Per AM-GM possiamo scrivere:
\(\displaystyle \sqrt[n^{n}]{\frac{1}{n^{n}!}}=\sqrt[n^{n}]{1\frac{1}{2}\ldots\frac{1}{n^{n}}}\leq\frac{1}{n^{n}}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots\frac{1}{n^{n}}\right)\leq\frac{n^{n-1}}{n^{n}}=\frac{1}{n}\)
da cui la disuguaglianza richiesta.
E' facile vedere che sussiste la disuguaglianza
\(\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n^n}\leq n^{n-1}\)
Per AM-GM possiamo scrivere:
\(\displaystyle \sqrt[n^{n}]{\frac{1}{n^{n}!}}=\sqrt[n^{n}]{1\frac{1}{2}\ldots\frac{1}{n^{n}}}\leq\frac{1}{n^{n}}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots\frac{1}{n^{n}}\right)\leq\frac{n^{n-1}}{n^{n}}=\frac{1}{n}\)
da cui la disuguaglianza richiesta.
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