Radici multiple

[Markus932]

Algebra 1: qualcuno sa risolvere la parte sottolineata?
Senza l'uso delle derivate!
Ho una dimostrazione, ma vi son troppi calcoli :/

[Stickelberger]

Sia $h(x)=x^{p^5}+x^{p^4}-x^{p^3}-x^{p^2}$. Abbiamo quindi che

$g(x)=h(x) + (x-1)(x^2-1)^p$ in $ZZ_p[X]$

Per ogni $n\ge 1$ si ha che $x^{p^n}\equiv x$ mod $x^p-x$ nell'anello $ZZ_p[x]$.
Questo implica che $h(x)\equiv 0$ mod $x^p-x$. Ogni elemento $x\in ZZ_p$
e' quindi uno zero di $h(x)$. Il fatto che $h(x)$ e' una $p^2$-esima
potenza in $ZZ_p[x]$ implica che ogni $x\in ZZ_p$ e' uno zero di $h(x)$
di molteplicita' almeno $p^2$.

Invece gli unici zeri del polinomio $(x-1)(x^2-1)^p$ sono $\pm 1$.
Sia $-1$ che $+1$ e' uno zero di molteplicita' almeno $p$.

Conclusione: le uniche radici di $g(x)$ in $ZZ_p$ sono $\pm 1$.
Non sono semplici. Anzi, hanno molteplicita' almeno $p$.