Impostazione di un problema per induzione

[lorenzoasr1]

Ciao a tutti,

vi chiedo aiuto con questo esercizio sull'induzione:

- Definiamo $a_n := 2^(2^n)+1$ , dimostrare che $a_n = a_0*a_1* ... *a_(n-1) + 2 $

Fino ad ora avevo dimostrato solo con sommatorie, qui non riesco a venirne a capo...

$a_0 * ... * a_(n-1) + 2 = 2^(2^n)+1$

Potreste suggerirmi qual'è la strada giusta per la risoluzione di un esercizio con questa impostazione?

Sò che và verificato il caso base, poi fatta un ipotesi induttiva e verificato per il successore di n scelto nell'ipotesi induttiva.

Spero che qualcuno possa aiutarmi, grazie

EDIT: spero di non aver sbagliato sezione...

[Maci86]

Base induttiva:
$a_0=3, a_1=2^(2^1) +1= 2^2 +1=5=3+2=a_0+2$
VERO
Ora supponiamo sia vero per $n$, dimostriamo che è vero per $n+1$:
Passo induttivo:
$a_(n+1)= 2^(2^(n+1)) +1= (2^(2^n))^2 +1=(a_0*...*a_(n-1) +1)^2 +1=$
$=(a_0*...*a_(n-1) )^2+2(a_0*...*a_(n-1) ) + 2=(a_0*...*a_(n-1) +2)(a_0*...*a_(n-1)) + 2=$
$=a_n(a_0*...*a_(n-1)) + 2=a_0*...*a_(n-1)*a_n +2 $
VERO!!!
Funziona tutto

[lorenzoasr1]

Grande Maci, ormai sei il mio mentore

Potresti spiegarmi come fai questo passaggio gentilmente?

$(a_0 * a_1 * ... * a_(n-1))^2 + 2(a_0 * a_1 * ... * a_(n-1)) = (a_0 * a_1 * ... * a_(n-1) + 2)(a_0 * a_1 * ... * a_(n-1))$

Ti ringrazio,

Lorenzo

[Pianoth]

Ha messo in evidenza $(a_0 * a_1 * ... * a_(n-1))$, infatti:

\((a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1})^2 + 2(a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1}) = \underline{(a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1})}(a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1})+\underline{2}(a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1}) = \)
\(= \underline{(a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1}+2)}(a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1})\)

[Maci86]

Ho raccolto a fattor comune, credo si dica così:
$(a_0 * a_1 * ... * a_(n-1))(a_0 * a_1 * ... * a_(n-1)) + 2(a_0 * a_1 * ... * a_(n-1)) $
$= (a_0 * a_1 * ... * a_(n-1) + 2)(a_0 * a_1 * ... * a_(n-1))$
Ci sei? Non farti spaventare/fregare da calcoli che sembra difficili, in realtà è un passaggio semplice

P.S.
Non son un mentore, va là Però se mi vuoi offrire da bere, volentieri

[lorenzoasr1]

"Pianoth":Ha messo in evidenza $(a_0 * a_1 * ... * a_(n-1))$, infatti:

\((a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1})^2 + 2(a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1}) = \underline{(a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1})}(a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1})+\underline{2}(a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1}) = \)
\(= \underline{(a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1}+2)}(a_0 \cdot a_1 \cdot ... \cdot a_{n-1})\)

Mi ero perso in un bicchier d'acqua

"Maci86":Ho raccolto a fattor comune, credo si dica così:
$ (a_0 * a_1 * ... * a_(n-1))(a_0 * a_1 * ... * a_(n-1)) + 2(a_0 * a_1 * ... * a_(n-1)) $
$ = (a_0 * a_1 * ... * a_(n-1) + 2)(a_0 * a_1 * ... * a_(n-1)) $
Ci sei? Non farti spaventare/fregare da calcoli che sembra difficili, in realtà è un passaggio semplice

P.S.
Non son un mentore, va là Però se mi vuoi offrire da bere, volentieri

Io sono a Roma, se passi di qua, fai un fischio Grazie di nuovo !!!

[Maci86]

Ti dico solo che da un paio di giorni mi chiamano tutti Francesco..

[lorenzoasr1]

aha i miei ossequi