Proposizione teoria dei numeri

[anto_zoolander]

We

Dimostrare per esercizio:

Supposto che siano $a^hequiv1(modn)wedgea^kequiv1(modn)$
allora è vero che $a^(MCD(h,k))equiv1(modn)$?

Io ci sono andato così:

Intanto possiamo supporre che sia $d=MCD(h,k)$ e $d|hwedged|k$

Certamente il $MCD$ è un sottomultiplo di entrambi tale che $d=h/(h')wedged=k/(k')$
Dunque so per certo che entrambe le scritture hanno senso su $ZZ$

Chiamo $1/(h')=u$ ... $d=hu$

Dunque basta prendere una delle due $a^hequiv1(modn)$
Applicando una proprietà:

$(a^h)^uequiv1^umod(n)=> a^(hu)equiv1(modn)$

$a^dequiv1(modn)$

[dan952]

Non credo che abbia senso quello che hai scritto poiché nessuno vieta di dire che $1^{u}-=-1 \mod\ n$ con $u=1/2$, inoltre il tuo è un abuso di notazione, parlare di radici in aritmetica modulare, insomma non è che sia il massimo.

Supponiamo $h $MCD(h,k)=h$) Non c'è nulla da dire.
$MCD(h,k)=d

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[Shocker1]

Concordo con dan95 sull'abuso di notazione.

Un altro modo di risolverlo è usare il lemma di bezout.