Esercizio induzione

[minepica]

Provare con l'induzione che 1(1!) + 2(2!) + ... + n(n!) = (n + 1)! - 1

Sono arrivato a
1(1!) + 2(2!) + ... + n(n!) + (n+1)(n+1!) = (n+1)! - 1 + (n+1)(n+1!)
non riesco più ad andare avanti !!

Ho trovato su internet una soluzione ma non la capisco :
= (k + 1)! - 1 + (k + 1)(k + 1)!
= (k + 2)(k + 1)! - 1
= (k + 2)! - 1
= [(k + 1) + 1]! - 1

o meglio non capisco come passa da (k + 1)! - 1 + (k + 1)(k + 1)! a (k + 2)(k + 1)! - 1

[G.D.5]

\[
\begin{align*}
& \left ( k + 1 \right )! - 1 + \left ( k + 1 \right ) \left ( k + 1 \right )! = \\
& \left ( k + 1 \right )! \cdot 1 + \left ( k + 1 \right ) \left ( k + 1 \right )! - 1 = \\
& \left ( k + 1 \right )! \left [ 1 + \left ( k + 1 \right ) \right ] - 1 = \\
& \left ( k + 1 \right )! \left ( k + 2 \right ) - 1
\end{align*}
\]