Dubbi su campi e anelli
Salve a tutti,
è il mio primo post e spero possiate aiutarmi.
Mi sto preparando per un esame di Crittografia ma purtroppo sono un po arrugginito in teoria dei gruppi e degli anelli e avrei un paio di domande su alcuni esercizi:
1) Costruire un campo con 9 elementi \( \mathbb{F}_{9} \) e trovare una sua radice primitiva g.
2) Descrivere i sottocampi di un campo \( \mathbb{F}_{x} \) ad esempio \( \mathbb{F}_{530} \)
3) Trovare una radice primitiva per \( \mathbb{Z}_{1009} \)
4) Dato il polinomio \( f(x) = X^{4} + X + 1 \in \mathbb{Z}_{2}[X] \) dimostrare che è irriducibile e costruire \( \mathbb{F}_{16} \)
Ora per l'esercizio (1) io so bene che tale campo è un anello quoziente \( {\mathbb{Z}_{3}}/{(f(x))} \) dove il grado di f è 2. Tuttavia non so se ci sono specifiche scelte del polinomio f(X) o meno... Inoltre per trovare poi una radice primitiva come posso procedere? per tentativi o c'è una strada migliore? Stesso problema mi si pone nell'esercizio (3).
Per quel che riguarda l'esercizio 4 mi verrebbe da costruire una matrice di Berlekamp per determinare la riducibilità/non riducibilità... Tuttavia non so se vi è una strada più semplice.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto,
E
è il mio primo post e spero possiate aiutarmi.
Mi sto preparando per un esame di Crittografia ma purtroppo sono un po arrugginito in teoria dei gruppi e degli anelli e avrei un paio di domande su alcuni esercizi:
1) Costruire un campo con 9 elementi \( \mathbb{F}_{9} \) e trovare una sua radice primitiva g.
2) Descrivere i sottocampi di un campo \( \mathbb{F}_{x} \) ad esempio \( \mathbb{F}_{530} \)
3) Trovare una radice primitiva per \( \mathbb{Z}_{1009} \)
4) Dato il polinomio \( f(x) = X^{4} + X + 1 \in \mathbb{Z}_{2}[X] \) dimostrare che è irriducibile e costruire \( \mathbb{F}_{16} \)
Ora per l'esercizio (1) io so bene che tale campo è un anello quoziente \( {\mathbb{Z}_{3}}/{(f(x))} \) dove il grado di f è 2. Tuttavia non so se ci sono specifiche scelte del polinomio f(X) o meno... Inoltre per trovare poi una radice primitiva come posso procedere? per tentativi o c'è una strada migliore? Stesso problema mi si pone nell'esercizio (3).
Per quel che riguarda l'esercizio 4 mi verrebbe da costruire una matrice di Berlekamp per determinare la riducibilità/non riducibilità... Tuttavia non so se vi è una strada più semplice.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto,
E
Risposte
Ciao!
Nel punto 4) e 3) Cosa denoti con \( \mathbb{Z}_{1009} \) e rispettivamente \( \mathbb{Z}_{2} \) ?
L'anello quoziente di \( \mathbb{Z} \) "sopra" l'ideale principale (1009) e risp (2) ?
In tal Caso il polinomio è irriducibile sopra \( \mathbb{Z}\) poichè : per ogni polinomio primitivo in un anello polinomiale R[X] ,
in cui il grado di f sopra R[X], coincide con il grado di f sopra R[X]/(p) per un ideale prinicipale e primo(-> p primo),
se il polinomio è irriducibile in R[X]/(p), allora lo è anche in R[X]!
Nel tuo esempio: i coefficenti sono tutti 1, quindi i coefficenti in \( \mathbb{Z} \) sono gli stessi in
\( \mathbb{Z}_{2} \), e quindi il grado coincide! Da definizione f è primitivo ..., e f è irriducibile sopra \( \mathbb{Z}_{2} \) ,quindi è irriducibile anche in \( \mathbb{Z}\)
... mi sorge un dubbio
..forse a te in realtà serviva la dimostrazione che f è irriducibile in \( \mathbb{Z}_{2} \), Cosa che ho dato per scontata ?
Nel punto 4) e 3) Cosa denoti con \( \mathbb{Z}_{1009} \) e rispettivamente \( \mathbb{Z}_{2} \) ?
L'anello quoziente di \( \mathbb{Z} \) "sopra" l'ideale principale (1009) e risp (2) ?
In tal Caso il polinomio è irriducibile sopra \( \mathbb{Z}\) poichè : per ogni polinomio primitivo in un anello polinomiale R[X] ,
in cui il grado di f sopra R[X], coincide con il grado di f sopra R[X]/(p) per un ideale prinicipale e primo(-> p primo),
se il polinomio è irriducibile in R[X]/(p), allora lo è anche in R[X]!
Nel tuo esempio: i coefficenti sono tutti 1, quindi i coefficenti in \( \mathbb{Z} \) sono gli stessi in
\( \mathbb{Z}_{2} \), e quindi il grado coincide! Da definizione f è primitivo ..., e f è irriducibile sopra \( \mathbb{Z}_{2} \) ,quindi è irriducibile anche in \( \mathbb{Z}\)
... mi sorge un dubbio
..forse a te in realtà serviva la dimostrazione che f è irriducibile in \( \mathbb{Z}_{2} \), Cosa che ho dato per scontata ?
Ok, ho capito. In generale però come si può stabilire senza ricorrere a Berlekamp (che è l'unico metodo che conosco al momento) che un polinomio in un campo è irriducibile?
Con \( \mathbb{Z}_{1009} \) intendo l'anello quoziente ${\mathbb{Z}} / {7\mathbb{Z}}$ .
La dimostrazione per ora non mi serve (male che vada la cerco poi per conto mio, grazie
Con \( \mathbb{Z}_{1009} \) intendo l'anello quoziente ${\mathbb{Z}} / {7\mathbb{Z}}$ .
La dimostrazione per ora non mi serve (male che vada la cerco poi per conto mio, grazie
Ma con $\mathbb{F}_{530}$ intendi un campo finito con $530$ elementi?
"dan95":
Ma con $\mathbb{F}_{530}$ intendi un campo finito con $530$ elementi?
Intendo l'anello quoziente $\mathbb{Z}_{530}/{(f(x))}$ .
"TheChoice":
Ok, ho capito. In generale però come si può stabilire senza ricorrere a Berlekamp (che è l'unico metodo che conosco al momento) che un polinomio in un campo è irriducibile?
Con \( \mathbb{Z}_{1009} \) intendo l'anello quoziente ${\mathbb{Z}} / {7\mathbb{Z}}$ .
La dimostrazione per ora non mi serve (male che vada la cerco poi per conto mio, grazie
Io ad Algebra I ho visto principalmente questi risultati:
1) In un anello pol. R[X] se un polinomio è primitivo, allora è irriducibile in R[X] se e solo lo è in K[X] dove K è il campo quoziente di R
2) Il Criterio di Eisenstein, molto utile
3) Considerare l'irriducibilità di un polinomio in R sopra un anello quoziente di R, dove è piu' facile verificarne l'irriducibilità,
e usare la Preposizione che ti ho scritto sopra.
"Kowalsky":
[quote="TheChoice"]Ok, ho capito. In generale però come si può stabilire senza ricorrere a Berlekamp (che è l'unico metodo che conosco al momento) che un polinomio in un campo è irriducibile?
Con \( \mathbb{Z}_{1009} \) intendo l'anello quoziente ${\mathbb{Z}} / {7\mathbb{Z}}$ .
La dimostrazione per ora non mi serve (male che vada la cerco poi per conto mio, grazie
Io ad Algebra I ho visto principalmente questi risultati:
1) In un anello pol. R[X] se un polinomio è primitivo, allora è irriducibile in R[X] se e solo lo è in K[X] dove K è il campo quoziente di R
2) Il Criterio di Eisenstein, molto utile
3) Considerare l'irriducibilità di un polinomio in R sopra un anello quoziente di R, dove è piu' facile verificarne l'irriducibilità,
e usare la Preposizione che ti ho scritto sopra.[/quote]
Ok, ti ringrazio
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