Ineguaglianza cruciale pr.120
120. Proposed by John A. Tierney, United States Naval Academy.
Given a point P inside an arbitrary angle, give a Euclidean construction of the line through P
that determines with the sides of the angle a triangle
(a) of minimum area;
(b) of minimum perimeter.
Tratto da
Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” pr.120
PS
sono due problemi in uno: direi discretamente impegnativo il primo[parte (a)]; molto impegnativo il secondo (anche se lo ho risolto (per primo
e)in meno tempo rispetto al primo)
Given a point P inside an arbitrary angle, give a Euclidean construction of the line through P
that determines with the sides of the angle a triangle
(a) of minimum area;
(b) of minimum perimeter.
Tratto da
Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” pr.120
PS
sono due problemi in uno: direi discretamente impegnativo il primo[parte (a)]; molto impegnativo il secondo (anche se lo ho risolto (per primo
e)in meno tempo rispetto al primo)
Risposte
Non ho capito il titolo. Ma ho capito il quiz (anche se sono scarso in inglese ... e questa lingua trovo disgustosa).
Ridico il quiz in italiano (con parole mie)
C'è un punto P dentro un angolo convesso (parte di piano delimitata da due semirette con l'origine in comune, vertice dell'angolo che ora chiamo C).
Una retta per P interseca le due semirette in due rispettivi punti, che ora chiamo A' e B'.
Si viene a formare un triangolo di vertici A', B' e C. Ruotando la retta attorno a P cambiano l'area e il perimetro del triangolo.
a) Si chiede di tracciare la retta per P che rende minima l'area del triangolo.
b) Si chiede di tracciare la retta per P che rende minimo il perimetro del triangolo.
–––––––––––
Mi limito al punto a).
Considero la perpendicolare alla retta PC (che passa per P e per il vertice C del dato angolo). Chiamiamola p.
Questa taglia i lati dell'angolo in due punti – diciamoli A e B – che diventano vertici di un triangolo. E siano "alpha" e "beta" gli angol interni con rispettivo vertice A e B.
La retta per P che rende minima l'area del triangolo così individuato è quella inclinata su p dell'angolo "phi" la cui tangente è metà della differenza delle tengenti di "alpha" e "beta". Cioè
$tan(φ) =(tan(α) - tan(β))/2$.
Costruire una retta con questa direzione "con metodi euclidei" è molto facile .
Ho scritto un "paper" per spiegare la direzione della retta che rende minima l'area e mostrare come adoperarla.
Buona lettura!
________
Ridico il quiz in italiano (con parole mie)
C'è un punto P dentro un angolo convesso (parte di piano delimitata da due semirette con l'origine in comune, vertice dell'angolo che ora chiamo C).
Una retta per P interseca le due semirette in due rispettivi punti, che ora chiamo A' e B'.
Si viene a formare un triangolo di vertici A', B' e C. Ruotando la retta attorno a P cambiano l'area e il perimetro del triangolo.
a) Si chiede di tracciare la retta per P che rende minima l'area del triangolo.
b) Si chiede di tracciare la retta per P che rende minimo il perimetro del triangolo.
–––––––––––
Mi limito al punto a).
Considero la perpendicolare alla retta PC (che passa per P e per il vertice C del dato angolo). Chiamiamola p.
Questa taglia i lati dell'angolo in due punti – diciamoli A e B – che diventano vertici di un triangolo. E siano "alpha" e "beta" gli angol interni con rispettivo vertice A e B.
La retta per P che rende minima l'area del triangolo così individuato è quella inclinata su p dell'angolo "phi" la cui tangente è metà della differenza delle tengenti di "alpha" e "beta". Cioè
$tan(φ) =(tan(α) - tan(β))/2$.
Costruire una retta con questa direzione "con metodi euclidei" è molto facile .
Ho scritto un "paper" per spiegare la direzione della retta che rende minima l'area e mostrare come adoperarla.
Buona lettura!
________
@Erasmus
pensando ai due problemi [carini, anche se postati da un 'Signore' che continua a confermare la sua signorilità] in parallelo, puoi accorgerti che anche le soluzioni sono abbinate: in entrambe si tratta di individuare la tangente in P ad una conica per P 'tangente' alle due semirette...
La costruzione per il caso (a) che hai risolto è, delle due, la più semplice: l'intersezione fra un lato dell'angolo e la parallela all'altro condotta per P è il punto medio fra il vertice dell'angolo e un punto appartenente alla retta cercata.
Ciao
B.
pensando ai due problemi [carini, anche se postati da un 'Signore' che continua a confermare la sua signorilità] in parallelo, puoi accorgerti che anche le soluzioni sono abbinate: in entrambe si tratta di individuare la tangente in P ad una conica per P 'tangente' alle due semirette...
La costruzione per il caso (a) che hai risolto è, delle due, la più semplice: l'intersezione fra un lato dell'angolo e la parallela all'altro condotta per P è il punto medio fra il vertice dell'angolo e un punto appartenente alla retta cercata.
Ciao
B.
"Erasmus_First":
Non ho capito il titolo. Ma ho capito il quiz (anche se sono scarso in inglese ... e questa lingua trovo disgustosa).
Questo è il "motivo" del titolo e anche il perché il testo è in inglese.
"Sprmnt21":
Tratto da
Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum” pr.120
Neanch'io mi trovo a mio agio con l'inglese, ma non mi sembra che il testo sia difficile da interpretare.
Ecco una versione più sintetica:
"Erasmus_First":
–––––––––––
...
Mi limito al punto a).
...
Ho scritto un "paper" per spiegare la direzione della retta che rende minima l'area e mostrare come adoperarla.
Buona lettura!
...
il risulltato mi sembra corretto, anche se forse il procedimento per ottenerlo andrebbe giustificato più in dettaglio(*).
Forse è più comodo, per la costruzione, sfruttare la caratterizzazione della retta "ottima" che hai trovato in termini di distanza di P da A' e B', al posto della relazioni fra tangenti.
(*)usi una formula in cui approssimi l'area di triangoli con quella di settori circolari, se non ho capito male.
"orsoulx":
pensando ai due problemi [carini, anche se postati da un 'Signore' che continua a confermare la sua signorilità] in parallelo, puoi accorgerti che anche le soluzioni sono abbinate: in entrambe si tratta di individuare la tangente in P ad una conica per P 'tangente' alle due semirette...
La costruzione per il caso (a) che hai risolto è, delle due, la più semplice: l'intersezione fra un lato dell'angolo e la parallela all'altro condotta per P è il punto medio fra il vertice dell'angolo e un punto appartenente alla retta cercata.
Ciao
B.
Perché non ti limiti a parlare di matematica, che ti viene meglio. Io non so se tu sia un signore, una signora, una signorina o forse un ragazzino, ma non mi sembra rilevante per il contesto del forum: è un forum sulla matematica vero?
PS
Per il caso (a) non c'e' alcuna necessità di alcuna conica ausiliare: si risolve con poche linee rette.
"sprmnt21":Sì.
[...] forse il procedimento [...] andrebbe giustificato più in dettaglio (*).
[...]
(*) Usi una formula in cui approssimi l'area di triangoli con quella di settori circolari, se non ho capito male.
Il "paper" è già molto lungo. Spiegare ogni passo lo renderebbe insopportabilmente lungo.
Occorre pensare ∆S e ∆φ infinitesimi. Si vede allora che, al tendere di ∆φ a 0, la vera ∆S differisce dalla differenza delle areette dei due settori circolari di un infinitesimo di ordine superiore al suo.
[Ho usato lo stile degli ingegneri ... concettualmente buono ma poco rigoroso nella forma.]
Formalmente bisognerebbe dire (e spiegare) che, detta $S(φ)$ l'area S del triangolo A'B'C in funzione dell'inclinazione φ di A'B' su AB, se (e solo se) A'P = PB' risulta $(dS)/(dφ) = 0$.
Non conosciamo di preciso $S(φ)$, e tuttavia conosciamo una espressione di $(dS)/(dφ)$ che è appunto
$(dS)/(dφ) =(d_A^2 - d_B^2)/2$.
Siccome al tendere di A'B' ad essere parallela a CA' o a CB' l'area di A'B'C tende all'infinito, l'estremante dell'area $S(φ)$ per A'P = PB' è senz'altro quello del minimo assoluto.
________
"orsoulx":Troppo ermetico!
@Erasmus
[...] si tratta di individuare la tangente in P ad una conica per P 'tangente' alle due semirette...
Una conica ha 5 gradi di libertà. Presi due punti su A'C (distinti da C), altri due su CB' (distinti da C) e P, questi 5 punti individuano una [sola] conica. Al tendere della coppia di punti su A'C ad un solo punto e della coppia su CB' ad un solo punto, mi par giusto dire che c'è una sola conica per P tangente ai lati A'C e CB' in due precisi punti. Se tolgo la precisazione di quali punti sono quelli di tangenza con A'C e CB', mi pare che anche dopo aver imposto che la conica sia tangente in P ad A'B' rsti ancora un grado di libertà .
Comunque: non ho ancora capito a cosa servirebbe pensare ad una conica tangente ad A'C, CB' e A'B'. Forse a semplificare i calcoli? [Dubito!]
"orsoulx":
[...] l'intersezione fra un lato dell'angolo e la parallela all'altro condotta per P è il punto medio fra il vertice dell'angolo e un punto appartenente alla retta cercata.
Col senno di poi ora vedo che è ovvio!
E quindi il passare per le tangenti degli angoli è un orpello in più!
[Oppure: togliersi il fastidio di una mosca sparandole con un fucile ad alta precisione!]
Probabilmente sono cascato in questa baggianata perché, prima di pensare alla costruzione geometrica, ho trattato il problema (della ricerca dell'area minima) analiticamente con l'uso delle funzioni trigonometriche arrivando appunto a
$tan(φ) = (tan(alfa) - tan(beta))/2$
senza ancora accorgermi che l'inclinazione di A'B' che rendeva minima l'area era quella per cui A'P = PB'.
Solo facendo per bene il disegno al computer mi sono accorto che doveva essere A'P = PB' e che con ciò era superflua la trattazione analitica della ricerca dell'area minima.
Ancora una volta ... AMEN!
________
"Erasmus_First":
Col senno di poi ora vedo che è ovvio! ...
beh ... ovvio forse è troppo.
Anche se in effetti, una volta immaginata la situazione "ottima" non è complicato darne una prova.
Ma potrebbe essere utile qualche giustificazione anche "figurata".
"Erasmus_First":
...
Occorre pensare ∆S e ∆φ infinitesimi. Si vede allora che, al tendere di ∆φ a 0, la vera ∆S differisce dalla differenza delle areette dei due settori circolari di un infinitesimo di ordine superiore al suo.
...
è proprio questo il punto da provare, secondo me, per rendere completa questa prova.
"sprmnt21":
Perché non ti limiti a parlare di matematica
Perché in una discussione http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=47&t=152627
ti sei permesso, bontà tua, di attribuirmi pubblicamente idee errate, che nascevano solo ed unicamente da una tua evidente difficoltà (questa forse anche a me imputabile) nel comprendere quel che scrivo. Arrivando persino a concludere con vaneggiamenti sulla relatività (sic); con la stessa logica del ristoratore ligure che riteneva di aver correttamente spiegato come arrivare ai suoi manicaretti scrivendo: "percorrendo la via Aurelia, giunti a XY, al primo semaforo svoltate a destra e proseguite per 800m", senza rendersi conto che, seguendo le sue istruzioni, metà circa dei clienti sarebbe finita in mare.
La mia richiesta di modificare quantomeno l'erronea attribuzione di (s)ragionamenti che erano solo tuoi, non ha avuto risposta alcuna, ed allora mi consentirai di ricordartelo, magari ti deciderai a farlo.
Per quel che riguarda i miei dati anagrafici penso, purtroppo, di avere un'età ben maggiore della tua, sono di una generazione allevata a carta e penna, poco incline al saccheggio della rete.
"sprmnt21":
Per il caso (a) non c'e' alcuna necessità di alcuna conica ausiliare: si risolve con poche linee rette.
Son convinto che, concentrandoti bene, puoi arrivare a comprendere che la costruzione della soluzione suggerita ad Erasmus_First, richiede di tracciare una sola retta (oltre a quella cercata). Le coniche del paragrafo precedente (termina con un punto e a capo) sono, a mio avviso: un comodo supporto per la dimostrazione delle proprietà di minimo ed anche la possibilità, sempre a mio parere, interessante, di 'unificare' i due problemi.
PS Constato con rammarico che, nonostante ripetutamente ti abbiano segnalato l'inopportunità della citazione completa di interventi precedenti, continui a farlo.
"Erasmus_First":
Una conica ha 5 gradi di libertà
Sicuramente. Però queste coniche sono 'speciali' diciamo che sono note le loro intersezioni con la retta all'infinito.
"Erasmus_First":
Forse a semplificare i calcoli? [Dubito!]
Sì, mi son servite, anche, a non fare alcun calcolo.
Ciao
B.
"orsoulx":
[quote="sprmnt21"]Perché non ti limiti a parlare di matematica
Perché ...[/quote]
Era una domanda retorica. Non ti dovevi sentire obbligato a rispondere?
"sprmnt21":
Non ti dovevi sentire obbligato a rispondere?
Nessun obbligo, quasi sempre rispondere è un piacere! (anche se non capisco il punto interrogativo).
"orsoulx":
...
Son convinto che, concentrandoti bene, puoi arrivare a comprendere che la costruzione della soluzione suggerita ad Erasmus_First, richiede di tracciare una sola retta (oltre a quella cercata). Le coniche del paragrafo precedente (termina con un punto e a capo) sono, a mio avviso: un comodo supporto per la dimostrazione delle proprietà di minimo ed anche la possibilità, sempre a mio parere, interessante, di 'unificare' i due problemi.
...
Perché invece di risposte così laconiche non illustri in dettaglio l'idea? Sembra molto interessante e promettente (io di tanto in tanto sto "lavorando" su uno scenario derivato da questi problemi cercando una generalizzazione e nel percorso fin'ora fatto mi sono imbattuto in una iperbole che gode di proprietà simili a quelle che tu lasci solo inutire[nota]in generale le tue risposte sembrano oracoli della sibilla cumana.[/nota]): pensavo proprio di proporlo come problema alla prima occasione [magari quando saranno rimasti pochi problemi aperti]).
"sprmnt21":@ sprmnt21
in generale le tue risposte sembrano oracoli della sibilla cumana
Ma ... non eri tu quello che invitava a parlare solo di matematica?
Occhio: la domanda è retorica, per favore non rispondere ... e torniamo tutti a parlare di matematica.
________
"sprmnt21":
Perché invece di risposte così laconiche non illustri in dettaglio l'idea?
Credevo di essermi spiegato in dettaglio, ma con te forse son necessari i disegnini.
Fino a quando non correggerai quel che hai scritto su di me, non ho alcuna intenzione di contribuire al tuo immenso database, dove conservi i problemi e le soluzioni che raccatti in rete. Sbaglio sicuramente più di te e sei libero di criticarmi nei modi che preferisci, anzi ti invito a farlo puntualmente, ma l'attribuirmi ragionamenti che non ho mai fatto e che sono unicamente frutto del tuo pensiero laterale travalica i confini della decenza e della maleducazione.
"sprmnt21":
in generale le tue risposte sembrano oracoli della sibilla cumana.
Forse confondi Sibille e Pizia, ma non è un problema, mi son tutte simpatiche e, non a caso, "La morte della pizia" è uno dei libri che mi sono maggiormente piaciuti.
"orsoulx":
...
Credevo di essermi spiegato in dettaglio, ma con te forse son necessari i disegnini.
Fino a quando non correggerai quel che hai scritto su di me,
...
non vale la pena riprendere quella inutile polemica su un problema peraltro banale. Non ho più nulla da aggiungere né da togliere.
"orsoulx":
...
non ho alcuna intenzione di contribuire al tuo immenso database, dove conservi i problemi e le soluzioni che raccatti in rete.
Non se intenzionalmente o inconsapevolmente, continui ad offendere. Ma non ha grande importanza.
In rete si trovano tante cose interessanti e tante no, basta saper scegliere.
Ad esempio, qua c'è una lista di cose (vecchie ma) interessanti:
http://www.artofproblemsolving.com/comm ... 1_sprmnt21
@sprmnt21
non amo competere e non mi interessano, tanto il tuo curriculum, quanto le tue indubbie abilità. Sull'educazione ho, invece, molte riserve. Se ti piace ritenerti offeso, non so che dirti, spero solo che smetterai di chiedermi spiegazioni che non ho alcuna voglia di darti.
non amo competere e non mi interessano, tanto il tuo curriculum, quanto le tue indubbie abilità. Sull'educazione ho, invece, molte riserve. Se ti piace ritenerti offeso, non so che dirti, spero solo che smetterai di chiedermi spiegazioni che non ho alcuna voglia di darti.
"orsoulx":
@sprmnt21
non amo competere e non mi interessano, tanto il tuo curriculum, quanto le tue indubbie abilità. Sull'educazione ho, invece, molte riserve. Se ti piace ritenerti offeso, non so che dirti, spero solo che smetterai di chiedermi spiegazioni che non ho alcuna voglia di darti.
io non voglio competere, voglio solo aver piacere di cercare (magari trovare, magari no) soluzioni carine a problemi carini.
non ti chiedo spiegazioni di alcunché, ti chiedevo di farci partecipe (tutti, non solo me) di una idea che sembra interessante anche se fosse solo in embrione.
Ho linkato alcuni miei vecchi post al forum AOPS, per smentire coi fatti la tua risibile illazione sul fatto che raccatti problemi e soluzioni in rete, non per vantarmi: non ne sento alcun bisogno.
Sicuramente ho trovato tanto in rete come sui dei buoni libri, ma ho dato altrettanto (cerca se sei curioso,ad esempio ma non solo, sui forum delle olimpiadi italiane sul sito SNS).
questa una lista più completa dei miei "raccattamenti" nel forum AOPS:
http://www.artofproblemsolving.com/community/u272
Anche se trovo soluzioni di problemi cerco sempre soluzioni diverse[nota]I miei primi post qui (due in particolare) si riferiscono a delle soluzioni più "carine" (con tutta la soggettività del concetto) di quelle che si trovano pubblicati sul sito SNS.[/nota], come mi piacerebbe vedere soluzioni diverse dalle mie ai problemi che propongo. Credo che queste sia uno dei motivi principali di partecipazione ad un forum.
Sicuro non mi è mai capitato in anni ed anni, IN UN FORUM DI MATEMATICA, di dover stare appresso a delle polemiche così futili.
Mi dispiace che qualcuno non voglia provare a risolvere i problemi che propongo. Lo spirito con cui partecipo al forum (fino ache non mi stancherò e allora lascio proprio il forum: di solito queste "passioni periodiche" durano un paio d'anni) e di provare risolvere tutti i problemi proposti e di cercare di dare soluzioni complete di dimostrazione (è un pleonasm
o, ma tant'è) eventualmente anche più di una.
Non servono tante parole e l'ostentazione delle 'decorazioni al valore': lo spirito e l'attenzione con cui partecipi al forum è quello che emerge chiaramente dal seguente 'dialogo' (fra i due messaggi passa poco più di un'ora).
Per il resto il silenzio sarebbe la miglior risposta, ma qui hai ragione:
Ed allora mi scuso con tutti gli altri utenti e delineo il mio approccio ai due problemi.
(a) Fra le tante proprietà dell'iperbole vi sono anche le seguenti
- le tangenti ad un'iperbole qualsiasi formano con gli asintoti della medesima triangoli di area costante, area che (con i medesimi asintoti) è proporzionale al quadrato della distanza fra uno dei vertici dell'iperbole ed il suo centro.
- una qualsiasi tangente ad un'iperbole la tocca nel punto medio delle sue intersezioni con gli asintoti della medesima.
Dato l'angolo ed il punto P del problema, esiste una sola iperbole $ \gamma $ passante per P ed avente i lati dell'angolo come asintoti (gli altri quattro punti che servono per individuare la conica sono i punti impropri dei lati dell'angolo).
La tangente in P a $ \gamma $ è la retta per P che forma con i lati dell'angolo il triangolo di area minima e si può tracciare facilmente sfruttando la seconda proprietà indicata in premessa.
Dimostrazione della proprietà di minimo. Qualsiasi altra retta passante per P passerà anche per punti 'interni' all'arco d'iperbole e sarà tangente ad un'altra iperbole il cui vertice avrà distanza dal centro maggiore di quella del vertice di $ \gamma $ (Le iperboli del fascio definito dagli asintoti non possono avere punti al finito in comune) CVD.
(b) Fra le proprietà della circonferenza v'è la seguente
- Le tangenti ad una circonferenza condotte da un punto V esterno formano con la tangente alla medesima in un punto P qualsiasi dell'arco (d'ora in poi arco utile), limitato dai punti di tangenza e minore di un angolo piatto, un triangolo VAB di perimetro doppio del segmento di tangenza VA (oppure VB) e quindi indipendente dalla posizione di P. La dimostrazione è una banale conseguenza dell'uguaglianza fra i segmenti di tangenza condotti da A (e anche da B) alla circonferenza.
Dato l'angolo ed il punto P del problema, consideriamo il fascio di circonferenze tangenti ai lati dell'angolo, due di queste passeranno per P, ma per una sola di queste P appartiene all'arco utile. La tangente in P a quest'ultima ($ \gamma $) è la retta cercata.
Dimostrazione della proprietà di minimo. Ad ogni altra retta passante per P appartengono punti interni al cerchio delimitato da $ \gamma $ e risulterà quindi tangente ad una circonferenza il cui arco utile (e quindi, per similitudine, anche il centro ed i punti di tangenza ai lati dell'angolo) distano dal vertice dell'angolo più di quanto distino i corrispondenti di $ \gamma $ CVD.
La costruzione della retta cercata è meno semplice di quella relativa al punto (a): il centro di $ \gamma $ è una delle intersezioni (quella più lontana dal vertice dell'angolo) della bisettrice dell'angolo con le parabole (ne basta una) di vertice P e direttrice uno dei lati dell'angolo.
Ciao
B.
-
"orsoulx":(mi rivolgevo ad Erasmus_First)
La costruzione per il caso (a) che hai risolto è, delle due, la più semplice: l'intersezione fra un lato dell'angolo e la parallela all'altro condotta per P è il punto medio fra il vertice dell'angolo e un punto appartenente alla retta cercata.
"sprmnt21":
PS
Per il caso (a) non c'e' alcuna necessità di alcuna conica ausiliare: si risolve con poche linee rette.
Per il resto il silenzio sarebbe la miglior risposta, ma qui hai ragione:
"sprmnt21":
(tutti, non solo me)
Ed allora mi scuso con tutti gli altri utenti e delineo il mio approccio ai due problemi.
(a) Fra le tante proprietà dell'iperbole vi sono anche le seguenti
- le tangenti ad un'iperbole qualsiasi formano con gli asintoti della medesima triangoli di area costante, area che (con i medesimi asintoti) è proporzionale al quadrato della distanza fra uno dei vertici dell'iperbole ed il suo centro.
- una qualsiasi tangente ad un'iperbole la tocca nel punto medio delle sue intersezioni con gli asintoti della medesima.
Dato l'angolo ed il punto P del problema, esiste una sola iperbole $ \gamma $ passante per P ed avente i lati dell'angolo come asintoti (gli altri quattro punti che servono per individuare la conica sono i punti impropri dei lati dell'angolo).
La tangente in P a $ \gamma $ è la retta per P che forma con i lati dell'angolo il triangolo di area minima e si può tracciare facilmente sfruttando la seconda proprietà indicata in premessa.
Dimostrazione della proprietà di minimo. Qualsiasi altra retta passante per P passerà anche per punti 'interni' all'arco d'iperbole e sarà tangente ad un'altra iperbole il cui vertice avrà distanza dal centro maggiore di quella del vertice di $ \gamma $ (Le iperboli del fascio definito dagli asintoti non possono avere punti al finito in comune) CVD.
(b) Fra le proprietà della circonferenza v'è la seguente
- Le tangenti ad una circonferenza condotte da un punto V esterno formano con la tangente alla medesima in un punto P qualsiasi dell'arco (d'ora in poi arco utile), limitato dai punti di tangenza e minore di un angolo piatto, un triangolo VAB di perimetro doppio del segmento di tangenza VA (oppure VB) e quindi indipendente dalla posizione di P. La dimostrazione è una banale conseguenza dell'uguaglianza fra i segmenti di tangenza condotti da A (e anche da B) alla circonferenza.
Dato l'angolo ed il punto P del problema, consideriamo il fascio di circonferenze tangenti ai lati dell'angolo, due di queste passeranno per P, ma per una sola di queste P appartiene all'arco utile. La tangente in P a quest'ultima ($ \gamma $) è la retta cercata.
Dimostrazione della proprietà di minimo. Ad ogni altra retta passante per P appartengono punti interni al cerchio delimitato da $ \gamma $ e risulterà quindi tangente ad una circonferenza il cui arco utile (e quindi, per similitudine, anche il centro ed i punti di tangenza ai lati dell'angolo) distano dal vertice dell'angolo più di quanto distino i corrispondenti di $ \gamma $ CVD.
La costruzione della retta cercata è meno semplice di quella relativa al punto (a): il centro di $ \gamma $ è una delle intersezioni (quella più lontana dal vertice dell'angolo) della bisettrice dell'angolo con le parabole (ne basta una) di vertice P e direttrice uno dei lati dell'angolo.
Ciao
B.
-
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo