Teoria dei numeri 2

[dr00ster]

Resto in tema teoria dei numeri:
Trovare le soluzioni intere all'equazione $n^4+n^3+n^2+n+1=k^2$

[Pachisi]

Ci provo:

Solo $n=3, k=11$. Infatti, sia $P(n)=n^4+n^3+n^2+n+1$. Allora, se $P(n)$ e` un quadrato perfetto, lo sara` anche $4P(n)$ e viceversa. Pero`, $(2n^2+n)^2=4P(n)-(3n^2+4n+4)<4P(n)$ e $(2n^2+n+1)^2=4P(n)+(n^2-2n-3)>4P(n)$ per $n \ge 3$. Allora, $4P(n)$ e` compreso tra due quadrati perfetti per $n \ge 3$, e quindi non puo` essere un quadrato perfetto. Segue che non lo puo` essere neanche $P(n)$. Resta da controllare $n=1,2,3$. Funziona solo $n=3$ che porta a $k=11$.

[dr00ster]

Non hai idea di quanto tempo ho speso su questa equazione...

[orsoulx]

Eh! Le risorse di pachisi non son mica noccioline.

[Erasmus_First]

[ot]Meglio dire "soluzioni dell'equazione" invece di "soluzioni all'equzione".[/ot]

"Pachisi":Solo $n=3, k=11$. [...]

Perché SOLO ? Non va bene anche $n = –1$ per $k=±1$?
E ci sarebbe anche $n = 0$ ancora per $k=±1$.

________

[orsoulx]

Certo Erasmus, e hai doppiamente ragione, perché questo quesito è numerato, in quanto discendente di un altro, in cui si era convenuto di conteggiare anche le soluzioni negative.

epperò dovremmo anche includere la triviale soluzione $ n=0; k=+-1 $. Riassumendo la totalità delle soluzioni possibili dovrebbe essere: $ (((n=-1) vv (n=0)) ^^ (k=+-1)) vv ((n=3) ^^ (k=+-11)) $.

Ciao
B.

[Pachisi]

Hai ragione. Avevo letto positive.

[orsoulx]

"Pachisi":Hai ragione

Hai, soggetto sottinteso: Erasmus_First.
Ciao
B.