Radici di un poliomio

[giulylanza06]

Siano a, b, c le radici del polinomio $x^3−17x−19$. Quanto vale $a^3+b^3+c^3$ ?

[orsoulx]

$ -(-19) \cdot 3= 57 $

Ciao
B.

[giulylanza06]

Puoi spiegare brevemente perchè? E' da un giorno che penso a quel polinomio

[axpgn]

Più "brevemente" di così ...

Credo di esserci arrivato al "perché" ...

Essendo radici allora $a^3-17a-19=0$ (e pure le altre due) da cui $a^3=17a+19$ (così come le altre); sommando membro a membro le tre, otteniamo $a^3+b^3+c^3=3*19+17(a+b+c)$.
Impegnandosi un po' (almeno per me ... ) si dimostra che $a+b+c=0$, però qui non lo trascrivo ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Il polinomio manca del termine di secondo grado, perciò $ a+b+c=0 $ sarà allora $ a+b=-c, a+c=-b, b+c=-a $ e
$ 0 = (a+b+c)^3= a^3+b^3+c^3+3(a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b))+6abc=$
$ a^3+b^3+c^3+3(-a^3-b^3-c^3)+6abc=-2(a^3+b^3+c^3)+6abc $
da cui $a^3+b^3+c^3=3abc $.

[axpgn]

"orsoulx":

Il polinomio manca del termine di secondo grado, perciò $ a+b+c=0 $ ...

Eh, a saperlo prima mi risparmiavo un bel po' di lavoro ...

Cordialmente, Alex

[Vincent46]

"gl630":Puoi spiegare brevemente perchè? E' da un giorno che penso a quel polinomio

se supponi che il polinomio abbia tre radici, allora lo puoi scomporre come $(x-a)(x-b)(x-c)$ e, rimoltiplicando tutto, arrivi a risolvere problemi come questo

[orsoulx]

"axpgn":Eh, a saperlo prima mi risparmiavo un bel po' di lavoro ...

Lo sapevi, lo sapevi... al più te lo sei dimenticato!
E se io avessi pensato alle tue sostituzioni, mi sarei risparmiato di scrivere tanti passaggi.
Ciao
B.

[Erasmus_First]

Arrivo adesso e vedo che Vincent46 ha scritto quello che pressapoco avrei detto anch'io.
Comunque, generalizzando, il polinomio P(x) sia di grado $n >1$, sia "monico" (cioè con coefficiente del termine di grado massimo uguale ad 1), siano $x_k$ i suoi zeri (con k = 0, 1, ..., n) e sia:
$P(x)=x^n + c_(n-1)x^(n-1) + c_(n-2)x^(n-2) + ... + c_1x + c_0$.
Evidentemente deve essere:
$∀x∈ CC$ $x^n + c_(n-1)x+...+c_1x + c_0 = (x-x_1)·(x-x_2)·...·(x-x_n) $.
Svolgendo allora i prodotti del membro di destra fino a ridurlo in forma polinomiale ed uguagliando poi il coefficiente del termine di grado k del membro destro al coefficiente del termine di ugual grado del membro sinistro si trovano le n espressioni polinomiali dei coefficienti $c_h$ (con h = 0, 1, ..., $n-1$) in funzione degli zeri $x_k$ (con k = 1, 2, ..., n).
In particolare:
$ c_(n-1) = -(x_1+x_2+...+x_n)$:
$c_(n-2) = x_1·(x_2 +x_3+...+x_n)+x_2·(x_3+...+x_n) + ... + x_(n-1)·x_n$;
$c_0 = (-1)^n(x_1·x_2·...·x_n)$.

Venendo al caso del quiz in questione – e chiedo scusa se dirò cose già dette qui da altri –, essendo ora:
$P(x) = x^3 – 17x – 19$ $∨$ $[x_1, x_2, x_3] = [a, b, c]$;
e quindi
$n = 3$; $c_(n-1) = c_2 = 0; c_(n-2) = c_1 = –17; c_0 = –19$
deve essere (in particolare):
$a + b + c = 0$
e anche
$a^3 – 17a – 19 = 0$;
$b^3 - 17b - 19 = 0$;
$c^3 ì- 17c - 19 =0$.
Sommando membro a membro le ultime tre uguaglianze e tenendo conto del fatto che $a + b + c = 0$, si ha:
$a^3 + b^3 + c^3 –17(a + b + c) – (19 + 19 + 19) = a^3 + b^3 + c^3 - 57 = 0$ $⇔$ $a^3 + b^3 + c^3 = 57$
________

[axpgn]

Caro Erasmus ... ma perché non metti sotto spoiler?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Caro Erasmus,
premesso che 'monico' detto da un abitante del nord-est mi induce maliziosamente al sorriso;
[strike]che lo sviluppo di $ c_{n-2) $ è sbagliato, e non solo nel segno;[/strike] [questo è giusto]
mi spieghi perché, senza tante faccine perplesse, qui tutti si adoperano per mettere in spoiler le loro soluzioni o i loro suggerimenti, permettendo così agli altri, qualora lo desiderino, di ragionare autonomamente... e poi, quando arrivi tu, tutto deve essere spiattellato?
Ciao
B.

[@melia]

[ot]Perché pensi male. Monico è un cognome mediamente diffuso nel veneziano, a Mirano ci sono un paio di ville veneziane del 1600 o 1700 che localmente sono chiamate Villa Monico, quella del 1600 è comunale ed è stata chiamata XXV aprile, l'altra è tuttora abitata dalla famiglia Monico.[/ot]

[orsoulx]

@melia
[ot]Penso male, ma consapevolmente. [/ot]
Ciao
B.

[Erasmus_First]

"orsoulx":Caro Erasmus, [...] mettere in spoiler [...]

Ti accontento.

"orsoulx":@ melia
[ot]Penso male, ma consapevolmente. [/ot].

Oh ... Santa Monica! [ot]Ti ho capito!
Tu sei un neo-cartesiano, un cartesiano post-freudiano.
Tipica dei cartesiani è la consapevolezza, specie la consapevolezza di esserci, di essere presente.
Questa deriva dalla specificità del comportamento degli umani.
Ed è per questo che i neo-cartesiani dànno il massimo rilievo al famoso aforism[size=120]o[/size] del grande Renato Dallecarte:
«[size=150]Co[/size][g][size=150]ito, ergo sum»[/size] [/ot]

________

[axpgn]

"Erasmus_First":[quote="orsoulx"]Caro Erasmus, [...] mettere in spoiler [...]

Ti accontento.[/quote]

Caro Erasmus ... allora ci prendi in giro ... ... era il messaggio di prima che andava in spoiler ...

[Erasmus_First]

"axpgn":[quote="orsoulx"]Caro Erasmus, [...]

Caro Erasmus [...][/quote]
[ot]Forse sono un tantino narcisista: godo di essere "caro"! [/ot]

"axpgn":[...] era il messaggio di prima che andava in spoiler ...

Un vecchio proverbio veronese recita:
«Sul tempestà no gh'è benedision!» [ot]E' improbabile che tu colga l'aspetto storico di questo proverbio (ora in disuso). Molto probabilmente tu non sai cosa erano le "rogazioni" [che si facevano andando in processione per la campagna in uno dei "quatuor tempora anni"] durante le quali, cantando le litanie dei santi, si chiedeva a Dio di essere propizio e, tra l'altro, di risparmiare la campagna dalle disgrazie naturali. Naturalmente il prete e pochissimi "iniziati" cantavano in latinorum e i contadini ascoltavano o rispondevano a memoria parole per loro incomprensibili (storpiandole pure). Ma io – l'ultima volta che si svolsero nel mio sobborgo di Verona ormai chierichetto "anziano" sui 12 anni che già studiava latino in 1ª media – ricordo certe invocaszioni:
• Propitius esto! – Exaudi nos Domine!
• Propitius esto! – Parce nobis Domine! (*)
• Ab ira tua – libera nos Domine!
Ecc, ecc, E finalmente:
• A fulgure et temestate – libera nos Domine!
Ecco allora spiegato il proverbio veronese «Sul tempestà no gh'è benedision!»., ovvero:
«Inutile benedire la campagna dopo che è già stata devastata dalla grandine.
In italiano si dice invece: «Non serve chiudere la stalla dopo che i buoi sono fuggiti»
Ma l'uno e l'altro proverbio si rifanno ad un mondo contadino che era ancora dominante negli anni della mia fanciullezza ed ora non esiste più. AMEN!
(*) Un mio compagno, pure chierichetto al seguito del parroco, mi chiedeva (parlando però in veronese):
«Chi era Pìsiu Sesto? Perché si ripete "pro Pìsiu Sesto", invece di dire "pro Pìsiu Settimo"? »[/ot]

________

[axpgn]

Caro Erasmus ... ...

[ot]

"Erasmus_First":... Molto probabilmente tu non sai cosa erano le "rogazioni" ...

E ti sbagli ... ... dalle mie parti si diceva "i rugassiù" ... [/ot]


Cordialmente, Alex