Dimostrazione esistenza indice per un quadrato perfetto

[bellerofonte02]

Ciao. Ho trovato questo problema alle olimpiadi di matematica ma non ho neanche capito il testo del problema
Siano $a_\1,a_\2,....a_\n...$una sequenza di interi positivi tali che $a_\(i+1)$ è il numero di divisori positivi di $a_\i$ per ogni $ i\geq 1$. Supponiamo che $a_\2\ne 2$. Dimostrare che esiste un indice $m$ tale che $a_\m$ sia un quadrato perfetto. Non so proprio come fare. Grazie per eventuali aiuti.

[.Ruben.17]

Ciao!
Il numero di divisori positivi di un quadrato perfetto è sempre dispari. Infatti un quadrato perfetto è un prodotto di potenze di interi ad esponente pari (fattorizzandolo), e il numero di divisori di un intero si ottiene come prodotto di tutti gli esponenti che compaiono nella fattorizzazione aumentati di uno.
Essendo tutti gli esponenti pari, in numero di divisori è un prodotto di numeri dispari (un numero pari + 1 dà un numero dispari), e quindi è dispari anch'esso.

quindi il problema si riduce a dimostrare che almeno uno tra gli elementi della successione è dispari o è un quadrato perfetto

esaminiamo la condizione [tex]a_{2} \ne 2[/tex]
Supponiamo che il secondo elemento non sia un quadrato perfetto, e che sia pari[se fosse dispari [tex]a_{1}[/tex] sarebbe un quadrato].
Adesso supponiamo di andare avanti nella successione, calcolando gli elementi successivi.
Gli elementi saranno tutti pari, fino ad un certo indice, quindi ci troveremo a calcolare il numero di divisori positivi di numeri pari.
Ci accorgiamo subito che la successione è decrescente(il prodotto degli esponenti della fattorizzazione aumentati di uno è sempre minore del numero dato), quindi, per un certo indice(penso sia intuitivo ma se vuoi posso trovare una dimostrazione) l'elemento associato ad esso sarà un numero del tipo 2a, con a dispari e primo, oppure una potenza del 2, che hanno come numero di divisori un quadrato perfetto o un 4.
Ti ho dato qualche idea, prova a ricavarne una dimostrazione rigorosa

[Erasmus_First]

".Ruben.":Ti ho dato qualche idea, prova a ricavarne una dimostrazione rigorosa

Beh: a me hai dato molto di più di una sola idea. Mi hai insegnato nozioni (più di una) che non conoscevo!
(Non è mai troppo tradi per imparare cose nuove )

Però (dico non a •Ruben• ma ad ardesiacesellata) ... anche il testo dell'esercizio dovrebbe essere in forma rigorosa.
A parte il fatto che "sequenza" è un sostantivo singolare mentre "siano" è un plurale, la struttura introdotta dall'esercizio (cioè $a_1, a_2,$ ... $a_n,$ ...) in italiano – scusate la pignoleria – si chiama "successione" (e non "sequenza").
In inghese "sequence" è una sfllza ordinata di numeri, non importa se in numero finito o illimitato e, in questo caso, se illimitato per indice solo crescente o per indice sia crescente che decrescente.
Per dirla con un paio di esempi:
• L'insieme dei quadrati dei numeri interi in ordine crescente, cioè
$0, 1, 4, 9, 16,$ ...
è una successione.
• Invece (almeno nella terminologia matematica che ho appreso io) l'insieme dei cubi degli interi ordinato in ordine crescente, ossia:
... $(-5)^3, (-4)^3, (-3)^3, (-2)^3, (-1)^3, 0^3, 1^3, 2^3, 3^3, 4^3, 5^3, $... $=$
$=$ .... $-125, -64, -27, -8, -1, 0, 1, 8, 27, 64, 125,$ ...
è (almeno per me!) una "sequenza" (e non una successione).
[Mi piace lo spirito cartesiano: "idee chiare e distinte". E senz'altro l'adottare voci ad accezione univoca va in questo senso!}

Formalmente, gli elementi di una successione ${a_n}$ si possono mettere in corrispondenza biunivoca con quelli dell'insieme $NN$ dei naturali (perché – detto con parole comuni – l'indice va da un intero minimo in su fino all'ifinito).
Invece gli elementi di una sequenza ${s_n}$ sono in corrispondenza biunivoca con quelli dell'insieme $ZZ$ degli interi (0, interi positivi ed interi negativi, perché l'indice va appunto da $-∞$ a $+∞$).

Naturalmente, da ogni sequenza si può ricavare la successione dei soli termini con indice naturale.
Perciò trovo corretto dire tanto "successione ${F_n}$ di Fibonacci" intendendo:
$F_0 = 0$; $F_1 = 1$; $∀n∈NN$ $F_(n+2)=F_n + F_(n+1)$, (ossia: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)
quanto "sequenza ${F_n}$ di Fibonacci" intendendo invece:
$F_0 = 0$; $F_1 = 1$; $∀n∈ZZ$ $F_(n+2)=F_n + F_(n+1)$. (ossia: ..., $13,-8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,$ ...).
Ma come faremmo a distinguere una dall'altra se usassimo per entrambe la voce "sequenza"?
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Torno all'esercizio in questione.
Mi intendo poco di divisori di interi!
Mi pare però che se fosse $a_2 ≠ 2$ allora il termine iniziale $a_1$ sarebbe un numero primo (perché solo i numeri primi hanno 2 divisori [interi e positivi]).
Escludendo che possa essere $a_2= 2$, mi pare che in generale si possa dire:
a) Potrebbe essere che tutti i termini valgano 1 (perché 1 è l'unico intero positivo con un solo divisore [intero positivo] che è 1 stesso).
Allora un quadrato di intero c'è per qualsiasi indice ($1^2 = 1$).
b) $a_1$ non può essere un numero primo.
Allora, o $a_1$ è un quadrato di un intero oppure, ... vedi quello che ha già detto ·Ruben· (che spiega come prima o poi si casca in un quadrato di un intero).
c) Siccome la successione (se i suoi termini non sono tutti 1) è inizialmente decrescente, da un certo indice in su tutti i suoi termini valgono 2 (perché i divisori di un numero primo sono due: 1 e il numero stesso),

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[bellerofonte02]

Ciao grazie mille per la precisazione. Io ho copiato il testo

[.Ruben.17]

Ad ogni modo, la difficoltà maggiore di questo esercizio era l'impossibilità di trovare una forma chiusa per il termine generale ( qualcosa di simile ad [tex]a_{n}=2n+1[/tex], per cui bisognava andare a tentativi.
Posso sapere da che livello di olimpiadi è stato preso l'esercizio? (Febbraio, Cesenatico)

[bellerofonte02]

Livello provinciale