Trovare funzioni

[dan952]

Trovare tutte le funzioni $f:RR \mapsto RR$ tali che
$$f(x^2+y)=f(xy)$$

e le funzioni $f :[0,+\infty) \mapsto RR$ tali che
$$f(x)=\sum_{k=0}^{[x]}f(2^{-k})$$

[kobeilprofeta]

da $y=0$:
$f(x^2+0)=f(x*0) => f(x^2)=f(0)$
Quindi $f$ è costante da zero in poi.

Prendiamo ora $x<0$
da $y=1$:
$f(x^2+1)=f(x)$, ma $x^2+1>0$, quindi anche sui negativi $f$ assume sempre lo stesso valore.

In conclusione $f$ è costante

[dan952]

Bravo! L'altro è altrettanto facile!

[Gi81]

"dan95": $f :[0,+\infty) \mapsto RR$ tale che $f(x)=\sum_{k=0}^{[x]}f(2^{-k})$

Immagino che con $[x]$ tu intenda la parte intera di $x$ (che io indico con $lfloor x rfloor$).

Dimostro che l'unica soluzione accettabile è la funzione nulla.


Notiamo che \(\displaystyle f(x)= f \left( \lfloor x \rfloor \right) \) per ogni $x in [0,+oo)$.
Da questo si deduce che per ogni $n in NN$ si ha $f(2^(-n))= f(0)$.
(infatti se $n=0$ abbiamo $f(2^(-0))= sum_{k=0}^0 f(2^(-k))=f(0)$,
e se $n >0$ allora $2^(-n) in (0,1)=> f(2^(-n))= f(lfloor 2^(-n) rfloor ) = f(0)$)


Quindi per ogni $x in [0,+oo)$ si ha $f(x)= \sum_{k=0}^{lfloor x rfloor }f(2^{-k})= \sum_{k=0}^{lfloor x rfloor }f(0)= (lfloor x rfloor+1) * f(0)$

Pertanto $f(0)= f(1)= (lfloor 1 rfloor +1) *f(0) = 2 * f(0)$, cioè $f(0)=0$.
Quindi $f(x)=0$ per ogni $x in [0,+oo)$.