Dimostrazione alternativa: $(1-x)^n<=1-x^n$

[kobeilprofeta]

Sia $x in [0,1]$, dimostrare in modo alternativo che $(1-x)^n<=1-x^n$

Con alternativo intendo senza induzione e senza altri risultati classici dell'analisi

Nota: la "dimostrazione" che ho in mente io e' tra virgolette e abbastanza "fantasiosa"

[Gi81]

Versione equivalente:
"Se $x,y in [0,1]$ sono tali che $x+y=1$, allora $x^n+y^n<=1$ per ogni $n in NN$."
Dimostrazione:
\[
1= 1^n =(x+y)^n =
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k = x^n +y^n + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \geqslant x^n+y^n
\]

[kobeilprofeta]

@gi8
carina... ma la mia non usa neanche una sommatoria


ps: ho messo dimostrazione tra virgolette, perchè non sono sicuro che si possa definire tale

[Gi81]

Sono curioso di leggerla ☺

[dan952]

Poiché $x,1-x \in [0,1]$ si ha $x^n \leq x$ e $(1-x)^n \leq 1-x$ per ogni $n \geq 1$ quindi la tesi...

[kobeilprofeta]

Metto la mia:

Sia A un evento e B il complementare
$x$ la prob che accada A.
A sinistra ho quindi la prob che accada $n$ volte B, mentre a destra la prob che accada almeno una volta B.