Radici

[giulylanza06]

Trovare tutti gli n tali che esiste una permutazione σ di {1, . . . , n} tale che
$ sqrt(σ(1)+sqrt(σ(2)+sqrt(...+sqrt(σ(n-1)+sqrt(σ(n))))) $ è razionale

[Erasmus_First]

Se ho capito giusto, σ(k) (con k intero da 1 a n) è il k-esimo numero di una permutazione della n-pla ordinata degli interi da 1 ad n inclusi.
Cominciamo a guardare la radice quadrata più interna. L'intera espressione non è razionale se non è razionale questa. E allora σ(n) deve essere un quadrato di un intero positivo. Ma se non è n = 1, deve essere un quadrato perfetto anche σ(n-1)+√[σ(n)]. Ecc.
Beh: non sono in grado di s-cervellarmi troppo!
Vedo però che, oltre all'ovvio n = 1, va bene anche n = 3 con la terna ordinata [2, 3, 1]. Infatti:
$sqrt(2 +sqrt(3 + sqrt1)) = sqrt(2 + sqrt4) = sqrt4 = 2$.

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P. S.
Le radici quadrate di interi, se non sono intere non sono nemmeno razionali. Dunque, nel testo del quiz è lecito sostituire "razionale" con "intero".
Ho meditato un po' se potrebbe essre n > 3; non ho concluso niente di preciso, ma mi pare improbabile.
Allora: io punto su n = 3.
Sarò contento di sbagliarmi perché allora qualcuno mi insegnerà come piazzare i numeri da 1 ad un certo intero n>3 in modo che quella "nidificazione" di radici quadrate risulti intera.

[Vincent46]

Hai la soluzione? È un problema carino.

[dan952]

Up!

Ogni $\sigma(i-1)+\sqrt{\sigma(i)+\sqrt{\cdots}}$ deve essere un quadrato perfetto, pensavo di ragionare sulla quantità di quadrati perfetti e mostrare che se fosse razionale (intero) allora avremmo "troppi" quadrati perfetti, seguendo l'ipotesi che non ci possano essere soluzioni per $n>3$.