Successionie in formula chiusa

[dan952]

Trovare la formula chiusa della successione:
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,ecc...

Con formula chiusa intendo dire un'applicazione $f: NN^{*} \mapsto RR^{NN}$ che associa ad ogni naturale positivo $n$ il termine $n-esimo$ della successione. Esempio:
0,2,6,12,20,...
Formula chiusa: $a_n=n^2-n$

[orsoulx]

$ a_n=\ceil \frac {|__ \sqrt(8n)__|} 2 $

Ciao
B.

[.Ruben.17]

L'avevo postato io un po'di tempo fa su ****

Va bene anche [tex]a_{n}=[\frac{1+ \sqrt{8n-7}}{2}][/tex]

Si dimostra con delle disuguaglianze, magari lo posto dopo

[dan952]

Bello l'ho preso da un altro forum

[.Ruben.17]

"dan95":

l'ho dimostrato risolvendo l'equazione di secondo grado $a_n^2+a_n+2(1-n)=0$ e aggiustando le parti intere

Ricontrolla quell'equazione
Già con [tex]a_{n}=1 , ~ n=1[/tex]
non funziona

Io usato la disuguaglianza
[tex]\frac{a_{n}(a_{n}-1)}{2}+1 \leq n \leq \frac{a_{n}(a_{n}+1)}{2}[/tex]

Trasformandola in un sistema di disequazioni, dopo opportuni calcoli ottengo

[tex]\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2} \leq a_{n} \leq \frac{1+ \sqrt{8n-7}}{2}[/tex]

Ora, creo una funzione [tex]f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}[/tex]
che mi valuta la differenza tra i due estremi della disuguaglianza

[tex]f(n) = \frac{1+ \sqrt{8n-7}}{2} - \frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}[/tex]

Questa funzione, strettamente crescente, per [tex]n \geq 1[/tex]
assume sempre valori [tex]\geq 0[/tex]

Inoltre, il limite a [tex]+ \infty[/tex] vale 1

Per cui, nell'intervallo che ci interessa [tex][1; + \infty)[/tex]
la funzione è compresa tra 0 e 1

Per questo motivo per valutare [tex]a_{n}[/tex] possiamo usare la funzione parte intera(come da definizione) sul membro di destra della disuguaglianza

e il tutto diventa [tex]a_{n}=
[ \frac{1+\sqrt{8n-7}}{2}][/tex]
dove [x] è la parte intera di x

[dan952]

Più che altro è una disuguaglianza più che un uguaglianza

[.Ruben.17]

Sì
in effetti quella parte intera è giustificata dalle disuguaglianze e dal fatto che la differenza tra gli estremi è minore di 1

Alla fine era un bell'esercizio, tra l'altro ho scoperto che la successione è famosissima