Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Si chiede di trovare tutte le f: R->R tali che ee $ f(x)f(y)=f(sqrt(x^2+y^2) $
idee?
Anni fa, in una gara matematica, fu dato questo problema:
[size=200]$x^(x^(x^(.^(.^.))))=2$[/size]
La soluzione "ufficiale" sottolineava il fatto che l'esponente della $x$ di base era uguale all'intera espressione perciò $x^2=2$ da cui $x=sqrt(2)$.
Uno studente fece però osservare che anche [size=200]$x^(x^(x^(.^(.^.))))=4$[/size] forniva la stessa soluzione (cioè $x=sqrt(2)$).
....mmmm.... ma allora quanto vale [size=200]$sqrt(2)^(sqrt(2)^(sqrt(2)^(.^(.^.))))=?$[/size]
Cordialmente, ...
Buongiorno ragazzi. Vorrei un aiuto con il seguente esercizio.
Ad una caccia al tesoro partecipano 2n persone, con n intero:'.:: 3. Vengono suddivise
in n coppie. Per ogni coppia viene stabilito un "capo". Ad una delle coppie viene dato
il compito di fare i giudici, e anche fra loro uno dei due sarà il giudice capo e l'altro sarà
l'assistente. In quanti modi diversi si può organizzare questa caccia al tesoro? [Nota: due
organizzazioni si considerano uguali se e solo se gli n capi sono gli ...
non riesco a dimostrare una uguaglianza che a prima vista sembrerebbe semplice. E' la seguente
dimostrare che esistono due numeri naturali m e n tali che
$ m^2+n^2=2020^20202 $
poi il problema chiede di trovare una condizione sufficiente affinché ciò valga per qualunque a^a, cioè
$ m^2+n^2=a^a $
sono curioso di sapere come si fa
se qualcuno ha qualche idea ne sarei molto grato
grazie
Salve a tutti, sono nuovo nel forum quindi perdonate tutti gli errori o non adempimenti che compio.
Mi sto in qualche modo cercando di preparare per indam, iuss o galileiana guardando le prove degli anni precedenti. spesso però non ci sono neanche le soluzioni e o non ho la più pallida idea se ho risposto correttamente o non capisco come si sarebbero potuti fare i problemi.
Ad esempio dalla prova dell'anno scorso per la iuss era chiesto di dimostrare
$ sum^(n)( (n), (i) ) = 2^n $
qualcuno ha un'idea? E' ...
Buongiorno ragazzi, stavo provando a svolgere questo esercizio
Siano $x,y,z > 0.$ Dimostrare che $1/x +1/y + 1/z > 2/(x+y) + 2/(y+z) + 2/(z+x) > 9/ (x+y+z) $
Nella soluzione si dice di utilizzare la disuguaglianza AH - AM. Ero a conoscenza della disuguaglianza AM- GM ma questa non ho idea di cosa sia. Sapreste aiutarmi? Grazie
Buongiorno a tutti,
Da qualche giorno ho iniziato ad approcciarmi alle dimostrazioni per induzione. Sebbene li trovi davvero interessanti, spesso ho qualche difficoltà nel riuscire a trovare la chiave. Mi sono imbattuto in un esercizio in cui si utilizzava la disuguaglianza $5^(n+1) > 2^(n+2) +1$ per ogni $n > 0 $ appartenente ai numeri naturali. Si affermava che la disequazione si può dimostrare per induzione, dunque ci ho provato. Tuttavia non ho nemmeno idea sul come iniziare; qualcuno ...
Ho un esercizio su cui sono completamente bloccato...
"Si vuole costruire una griglia di ferro con dei tondini a forma di ’L’, con i due segmenti
perpendicolari della stessa lunghezza. Due tondini non possono sovrapporsi, e nessuno di loro può debordare dalla griglia. Per quali valori dei lati del reticolo è possibile
costruire una griglia del genere?"
In questi casi come si fa a procedere? Si deve andare per tentativi oppure si deve fare qualche osservazione particolare? Io ho solo visto che ...
Buongiorno a tutti, volevo chiedervi aiuto con due problemi che ho provato a risolvere senza che tuttavia vi sia una soluzione che possa consultare.
1) Sia P(n) la cifra delle unità del numero $7^n$ espresso in base 10. Calcolare il valore $\sum_{n=1}^3981 P(n)$
2) se si lanciano 5 dadi, calcolare la probabilità che il prodotto dei numeri ottenuti sia 60.
Per il primo ho ragionato come segue. Le potenze del 7 terminano sempre con le cifre 7,9,3,1. Poiché 3981 / 4 = 995 resto 1 segue ...
Calcolare $\sum_{n=2}^{infty}\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^n\cdot k!}$
Ho il seguente problema:
Alice e Bob fanno un gioco molto divertente. Da un foglio di carta quadrettata ritagliano
un rettangolo m ×n, dopodiché a turno ( iniziando da Alice ) ognuno di loro deve taglia-
re il rettangolo in due rettangoli ( il taglio deve essere orizzontale o verticale, e rispettare
i quadretti ), scartarne uno e passare l’altro al giocatore successivo. Chi riceve il rettan-
golo 1x1 perde. Chi vince, e come? Come cambia il gioco se sono costretti a scartare il
rettangolo più ...
La funzione esponenziale è definita come $y=a^x$ con $a,y > 0$ ed $a!=1$ con $x \in RR$
La funzione logaritmo è definita come $y=log_a(x)$ con $a,x > 0$ ed $a!=1$ con (se non sbaglio) $y!=0$
E' dimostrabile che la funzione logaritmo è l'inversa della funzione esponenziale e vale l'implicazione:
$a^x = y$ -> $x = log_a(y)$
Per arrivare alla forma $y=\log_a(x)$ si deve "scambiare" $x$ con ...
Ho il seguente problema:
Si vogliono riempire le nove caselle di una tabella 3x3 con interi non negativi, in maniera
tale da rispettare le seguenti condizioni:
• in almeno una delle caselle viene inserito il numero 3;
• la somma dei numeri in ciascuna riga è 3;
• la somma dei numeri in ciascuna colonna è 3.
In quanti modi differenti possiamo riempire la tabella?
(A) 18 (B) 24 (C) 27 (D) 30 (E) 36
Ho ragionato così: abbiamo una successione di numeri a,b,c,d,e,f,g,h,i (sulla griglia la a l'ho ...
Salve, mi chiedevo quale fosse la soluzione di questo problema che ho trovato di combinatoria:
"In quante regioni viene diviso un piano da 2010 rette, tali che non ne esistono 2 parallele e non ne esistono 3 che passano per uno stesso punto?"
Non avendo capito come impostare il problema formalmente, ho intuitivamente disegnato il piano, le rette ecc... e ho notato che, sotto le condizioni richieste, senza alcuna retta il piano è suddiviso in una parte, una retta divide il piano in 2 parti, due ...
Disegnate sei cerchi sul piano, dalle dimensioni che volete e nelle posizioni che più vi aggradano con l'unico vincolo che ogni cerchio NON deve contenere il centro degli altri cinque cerchi.
Dimostrate che non esiste un punto comune a tutti e sei i cerchi.
Cordialmente, Alex
Siano a, b e c tre vettori (nello spazio euclideo tridimensionale) linerarmente indioendenti .
Provare che a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
Non so, però, se un tale argomento andrebbe invece messo in "Pensare un po' di più".
Ai miei tempi il prodotto vettoriale non si studiava nemmeno al liceo scientifico. Ma io, a partire dal 1984 – quando sono passato ad insegnare solo Fisica (e Laboratorio) al biennio ITIS – insegnavo il calcolo vettoriale in 1ª ITIS (con ricaduta ottima sull'impiego di ...
Salve,
il seguente esercizio si può risolvere scrivendo tutti gli orari in una tabella. Ma credo che venga molto più interessante da risolvere con uno strumento matematico.
Purtroppo il minimo comune multiplo non è applicabile, in quanto ci sono soste.
Ci sono idee?
Qui l'esercizio:
Ciao a tutti,
Sto provando a fare le prove di ammissione alla Galileiana per economia di matematica. Non riesco bene a capire come affrontare questo quesito che vi riporto sotto. Trovare lo (0,0) è stato abbastanza facile. Ma trovare l'insieme che richiedono al secondo punto non mi riesce. Non essendoci soluzioni non capisco neanche quale metodo poter utilizzare per risolvere il sistema con le varie condizioni che so che caratterizzano l'insieme.
Fissato $R>0$ Si ponga ...
Problema:
Come al solito, denotiamo col simbolo $ZZ^2$ l’insieme delle coppie ordinate che hanno entrambe le coordinate intere, ossia:
\[
\mathbb{Z}^2 := \{ (m,n),\ \text{con } m,n \in \mathbb{Z}\}\; .
\]
Nel piano cartesiano, i punti $P$ con coordinate in $ZZ^2$ sono i vertici di una “quadrettatura” con quadretti di lato unitario.
1. Provare che per ogni vertice $P=(m,n) in ZZ^2$ della quadrettatura passa un’unica circonferenza di centro ...
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